Question

Qual a forma fatorada da expressão x³-5x²+4x-20

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf x {}^{3} - 5x {}^{2} + 4x - 20$

Para encontrar a forma fatorada do mesmo, usaremos o Teorema das raízes racionais, tal Teorema diz que:

• Seja $\sf a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0=0$ uma equação com coeficientes inteiros. Se p/q (fração irredutível) é uma raiz, então p é divisor de $a_0$ e q é divisor de $a_n$.

Primeiro vamos encontrar os divisores de An (1) e Ao(20):

$\sf D(1) = - 1,1 \\ \sf D(20) = - 1,1, - 2,2, - 4,4, - 5,5, - 10,10, - 20,20$

Agora teremos que dividir os divisores de Ao por An e assim descobrir as possíveis raizes, mas isso não será necessário pois quando o An é igual a 1, as possíveis raízes são os divisores de Ao, ou seja:

$\sf poss \acute{i}veis \: ra \acute{i}zes : 1,1, - 2,2, - 4,4, - 5,5, - 10,10, - 20,20$

Para saber qual é raiz ou não, você deverá testar esses números no local de "x", quando o resultado for "0" esse número é uma raiz, como eu já havia testado antes de iniciar esse cálculo, eu sei que 5 é uma raiz pois:

$\sf x {}^{3} - 5x {}^{2} + 4x - 20 \rightarrow x = 5 \\ \sf (5) {}^{3} - 5.( 5) {}^{2} + 4.5 - 20 \\ \sf 125 - 125 + 20 - 120 = \boxed{ \sf0}$

Sabendo o valor da raiz, usaremos o dispositivo Briot-ruffini e assim encontrar a forma fatorada.

$\sf 1x {}^{3} - 5x {}^{2} + 4x - 20 \\ \begin{array}{c|c} \sf 5& \sf \sf 1& \sf - 5& \sf 4& \sf - 20 \\ \sf & \sf \underbrace{1} _{grau \: 2}& \sf\underbrace{0} _{grau \: 1}& \sf \underbrace{4} _{grau \: 0}& \sf \underbrace{0} _{resto }&&&\end{array}$

De acordo com esse cálculo, vemos que a expressão resultante foi:

$\sf x {}^{2} + 4$

Através dos polinômios sabemos que uma raiz é expressa dessa maneira:

$\sf (x - a)$

Sendo o "a" a raiz, portanto no local de "a" podemos substituir o 5:

$\sf (x - 5)$

Por fim devemos lembrar da relação que diz que:

• O divisor é igual ao dividendo vezes o quociente mais o resto, então:

$\sf x {}^{3} - 5x {}^{2} + 4x - 20 = (x - 5).(x {}^{2} + 4) + 0 \\ \sf x {}^{3} - 5x {}^{2} + 4x - 20 = (x - 5).(x {}^{2} + 4)$

Portanto podemos concluir que a forma fatorada é:

$\sf (x - 5).(x {}^{2} + 4)$

• Resposta: (x-5).(x²+4)

Espero ter ajudado