Question

Qual a forma canônica dessas funções?
(Com os cálculos)

F(x)= x² -2x +3
F(x)= x² +2
F(x)= -x²+3x+4
F(x)= -x² +4x
F(x)= 2x² -8x +4

Answer 1

a) $f(x)=1((x-\frac{2}{2})^2-\frac{2^2-4*1*3}{4*1^2})$

b) $f(x)=((x+\frac{0}{2})^2-\frac{b^2+0}{4})$

c) $f(x)=((x+\frac{3}{2})^2-\frac{3^2-4*1*4}{4})</p><p>$

d)$f(x)=-((x+\frac{4}{-2})^2-\frac{b^2-4*(-1)0}{4(-1)^2})$

e)$f(x)=2((x-\frac{8}{4})^2-\frac{8^2-4*(2)*(4)}{4*(2)^2})</p><p>$

Seja uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$

Como obter a forma canônica da função quadratica?

começamos fazendo manipulações pelo "método de completar quadrado":

$f(x)=ax^2+bx+c\\\\</p><p>f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$

lembre que $(c+d)^2=c ^2+2cd+d ^2$ e note que se $c=x$ e $d=\frac{b}{2a}$, teremos:

$(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+2x\frac{b}{2a}+(frac{b}{2a})^2=\\\\x^2+frac{b}{a}+frac{b^2}{4a^2}$

e isto pode ser rearranjado na equação que estamos trabalhando:

$f(x)=ax^2+bx+c\\\\</p><p>f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\\\</p><p>f(x)=a(x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})2 -(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}$

observe que nada foi alterado. Foi efetuado uma multiplicação por 1 e uma soma de 0.

Vamos terminar de simplificar e escrever na forma de produto notável:

$f(x)=a(x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})2 -(\frac{b}{2a})^2+ \dfrac{c}{a})\\\\</p><p>f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a ^2}+\frac{c}{a}\\\\</p><p>f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac})$

Esta é a forma canônica.

se $x=m = - \dfrac{b}{2a}$, teremos $f(m)= a(\dfrac{b}{2a} - \dfrac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a ^2})\\\\f(x)=-a\frac{b^2-4ac}{4a ^2}$

Logo a forma canônica das equações pedidas será:

a) $x^2-2x+3$

$a=1\\b=-2\\c=3\\\\</p><p>f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a ^2})\\\\</p><p>f(x)=1((x-\frac{2}{2})^2-\frac{2^2-4*1*3}{4*1^2})[tex]</p><p></p><p><strong>b</strong><strong>)</strong> [tex]x^2+2$

$a=1\\b=0\\c=2\\\\</p><p>f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a ^2})\\\\</p><p>f(x)=((x+\frac{0}{2})^2-\frac{b^2+0}{4})$

c) $x^2+3x+4$

$a=1\\b=3\\c=4\\\\</p><p>f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a ^2})\\\\</p><p>f(x)=((x+\frac{3}{2})^2-\frac{3^2-4*1*4}{4})</p><p>$

d) $-x^2+4x$

$f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a ^2})\\\\</p><p>f(x)=-((x+\frac{4}{-2})^2-\frac{b^2-4*(-1)0}{4(-1)^2})$

e) $2x^2-8x+4$

$f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a ^2})\\\\</p><p>f(x)=2((x-\frac{8}{4})^2-\frac{8^2-4*(2)*(4)}{4*(2)^2})</p><p>$