Question

Qual a equação reduzida da circunferência em que as extremidades de um diâmetro são A(4,0) e B(0,4)?

Answer 1

Para escrever a equação reduzida da circunferência, precisamos de seu centro e do seu raio
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O centro é o ponto médio do segmento que forma um diâmetro:

$C=\dfrac{1}{2}\left((4,0)+(0,4)\right)=\dfrac{1}{2}(4+0,~0+4)=\dfrac{1}{2}(4,4)=(2,2)$

O raio é a distância de qualquer ponto da circunferência ao centro dessa:

$r=d(A,C)\\\\r=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}\\\\r=\sqrt{(4-2)^{2}+(0-2)^{2}}\\\\r=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}\\\\r=\sqrt{4+4}\\\\r=\sqrt{8}\\\\\boxed{\boxed{r^{2}=8}}$

A equação reduzida de uma circunferência de centro C(h,k) e raio r é dada por

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

Então, a equação reduzida da circunferência em questão é:

$(x-x_{C})^{2}+(y-y_{C})^{2}=r^{2}\\\\\boxed{\boxed{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=8}}$