Question

Qual a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-2,2) e B(3,-1)?
alternativas:
a) x + 6y -10 = 0
b) x + y - 2 = 0
c) 3x + 5y - 4 = 0
d) 3x - 2y - 11 = 0

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

As equações na forma ax + by + c = 0 são expressões representativas de retas do plano.

Os coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores diferentes de zero. A essa representação matemática damos o nome de equação geral da reta.

Podemos construir a equação geral da reta utilizando duas maneiras:

1° – através da determinação do coeficiente angular da reta e utilização de uma forma geral dada por: y – y₁ = m (x – x₁).

2° – através de uma matriz quadrada formada pelos pontos pertencentes à reta fornecida.

I) Cálculo através da primeira forma:

Como a explicação acima citou, devemos calcular primeiro o coeficiente angular, para isso temos que realizar uma variação dos valores das ordenadas sobre os valores das abscissas. Tal coeficiente possui a seguinte fórmula:

$\Large\boxed{m = \frac{yb - ya}{xb - xa}}$

Temos os elementos xb, xa, yb e ya... que são os valores das abscissas e ordenadas, seguindo o princípio que uma coordenada segue essa ordem: C(abscissa, ordenada) → Abscissa: Valor de "x", Ordenada: Valor de "y", vamos identificar os valores dos pontos A e B.

$\begin{cases}A(-2,2) \rightarrow \: xa = - 2 \: \: \: \: \: ya = 2 \\ B(3,-1) \rightarrow xb = 3 \: \: \: \: \: yb = - 1\end{cases}$

Agora vamos substituir na fórmula, afim de descobrir o bendito coeficiente.

$\begin{cases}m = \frac{ - 1 - 2}{3 - ( - 2)} \\ \\ m = \frac{ - 3}{3 + 2} \\ \\ \boxed{\boxed{m = - \frac{ 3}{5} }}\end{cases}$

Vamos substituir esse valor do coeficiente na fórmula da equação da reta, que possui tal estrutura:

$\large\boxed{y - yo = m.(x - xo)}$

Para realizar a substituição, vamos ter que escolher um dos dois pontos fornecidos, eu aconselho que escolha os pontos com os menores valores, ou seja, escolheremos A(-2,2), após isso vamos substituir no local das seguintes incógnitas (xo e yo).

$\begin{cases}y - 2 = - \frac{3}{5} .(x - ( - 2)) \\ \\ y - 2 = - \frac{3}{5} .(x + 2) \\ \\ \frac{y}{1} - \frac{2}{1} = - \frac{3x}{5} - \frac{6}{5} \\ \\ mmc = 5 \\ \\ 5y - 10 = - 3x - 6 \\ \\ 5y + 3x -10 + 6 = 0 \\ \\ \boxed{\boxed{ 5y + 3x - 4 = 0}}\end{cases}$

II) Cálculo através da segunda forma:

Como foi citado, a segunda forma é através de um DETERMINANTE, temos que o DETERMINANTE possui a seguinte forma:

$\large \begin{bmatrix}x&y&1 \\ xa&ya&1 \\ xb&yb&1\end{bmatrix}=0$

Note que aqui também temos os elementos Xa,xb....., mas como já identificamos, vamos apenas substituir no seu respectivo local e calcular o DETERMINANTE através de Sarrus.

$\begin{bmatrix}x&y&1 \\ - 2&2&1 \\ 3& - 1&1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}x&y \\ - 2&2 \\ 3& - 1\end{bmatrix} =0\\ \\ D = Diagonal \: P - Diagonal \: S \\ \scriptsize 0=x.2.1 + y.1.3 + 1.( - 2).( - 1) - (3.2.1 + ( - 1).1.x + 1.( - 2).y) \\ \scriptsize 0 = 2x + 3y + 2 - (6 - x - 2y) \\ \scriptsize 0 = 2x + 3y + 2 - 6 + x + 2y \\ \scriptsize 0 = 3x + 5y - 4 \\ \\ \boxed{\boxed{3x + 5y - 4 = 0}}$

Com isso temos que a alternativa correta é a letra c)

Resposta: item c)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️