Question

Qual a equação da reta tangente e da reta normal na curva x^2 + 4xy + 1 = 13 no ponto de abscissa x = 2

Answer 1

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Equação da reta tangente no ponto $\Large\sf P(x_0,y_0)$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf y=y_0+f'(x_0)\cdot(x-x_0)}}}}$

Equação da reta normal no ponto $\Large\sf P(x_0,y_0)$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf y=y_0-\dfrac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)}}}}$

$\sf x^2+4xy+1=13\\\sf quando~x=2~temos:\\\sf 2^2+4\cdot2\cdot y+1=13\\\sf 4+8y+1=13\\\sf 8y=13-1-4\\\sf 8y=8\\\sf y=\dfrac{8}{8}\\\sf y=1\implies P(2,1)\\\sf x^2+4xy+1=13\\\sf 2x+4y+4x\dfrac{dy}{dx}=0\\\sf 4x\dfrac{dy}{dx}=-2x-4y\\\sf\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2x-4y}{4x}\\\sf f'(x)=\dfrac{-2x-4y}{4x}\\\sf f'(2)=\dfrac{-2\cdot2-4\cdot1}{4\cdot2}\\\sf f'(2)=\dfrac{-4-4}{8}=-\dfrac{8}{8}=-1$

$\sf y=y_0+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\\\sf y=1-1\cdot(x-2)\\\sf y=1-x+2\\\underbrace{\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf y=3-x}}}}\blue{\checkmark}}_{\sf equac_{\!\!,}\tilde ao~da~reta~tangente}$

$\sf y=1-\dfrac{1}{-1}\cdot(x-2)\\\sf y=1+1\cdot(x-2)\\\sf y=1+x-2\\\underbrace{\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf y=x-1}}}}\blue{\checkmark}}_{\rm equac_{\!\!,}\tilde ao~da~reta~normal}$

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações de retas tangentes e normais.

Dada uma curva $\mathcal{C}$ dada por $y=y(x)$, a reta tangente ao gráfico em um ponto $(x_0,~y_0)$ pertencente ao domínio da função é calculada pela fórmula: $\boxed{y=y_0+f'(x_0)\cdot (x - x_0)}$.

Da mesma forma, a equação da reta normal à curva em um ponto que pertence ao domínio desta função é calculada pela fórmula: $\boxed{y=y_0-\dfrac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0)}$.

Então, seja a curva de equação $x^2+4xy+1=13$. Devemos determinar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa $x=2$.

Primeiro, calculamos a ordenada do ponto, substituindo $x_0=2$ na equação da curva:

$2^2+4\cdot2\cdot y_0+1=13\\\\\ 4+8y_0+1=13\\\\\\ 8y_0=8\\\\\ y_0=1$

Agora, calculamos a derivada da função:

$[x^2+4xy+1]'=[13]'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $[x^n]'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de um produto de duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: $[g(x)\cdot h(x)]'=g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero. Em adição à regra anterior, deduz-se que $[a\cdot g(x)\cdot h(x)]'=a\cdot [g(x)\cdot h(x)]'$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é denominada implícita e respeita a regra da cadeia: $[y^n]'=n\cdot y^{n-1}\cdot y'$

Aplique a regra da soma

$[x^2]'+[4xy]'+[1]'=[13]'$

Aplique as regras da potência, produto e constante

$2\cdot x^{2-1}+4\cdot ([x]'\cdot y + x\cdot [y]')+0=0\\\\\\ 2x + 4\cdot(y+xy')=0\\\\\\ 2x + 4y+4xy'=0$

Subtraia $2x+4y$ em ambos os lados da equação

$4xy'=-2x-4y$

Divida ambos os lados da equação por $4x$

$y'=-\dfrac{2x+4y}{4x}\\\\\\ y'=-\dfrac{x+2y}{2x}$

Calculando o valor da derivada da função no ponto de abscissa $x_0=2$ e substituindo $y_0=1$, obtemos:

$y'(2)=f'(2)=-\dfrac{2+2\cdot 1}{2\cdot 2}\\\\\\ f'(2)=-\dfrac{4}{4}=-1$

Substituindo estes dados nas equações das retas tangente e normal, obtemos:

A equação da reta tangente à curva em $\bold{x=2}$:

$y=1+(-1)\cdot (x-2)\\\\\\ y=1-x+2\\\\\\ y=3-x$

A equação da reta normal à curva em $\bold{x=2}$:

$y=1-\dfrac{1}{-1}\cdot(x-2)\\\\\\ y = 1 + x - 2\\\\\\ y = x - 1$

Estas são as equações que buscávamos.