Matemática, perguntado por Deborahvrgs, 1 ano atrás

Qual a Equação da reta tangente ao gráfico f(x) = -x^2 + 2x e no ponto de abscissa 2:

Soluções para a tarefa

Respondido por SYSTEMFLOYD

SO DERIVAR

f´(x)=-2x+2
p/xd=2

f´(2)=-2·2+2=-4+2
f´(2)=-2 = m coeficiente angular
yd=f(2)=-2²+2·2=-4+4=0

equação fica
y-yd=m(x-xd)
y-0= -2(x-2)

y=-2x+4

Respondido por solkarped

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do segundo grau - função quadrática - pelo ponto dado é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -2x + 4\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x) = -x^{2} + 2x\\x = 2\end{cases}$

Para calcular a equação da reta tangente ao gráfico da referida função pelo ponto de abscissa "-2" devemos utilizar a equação da reta em sua forma "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x- x_{T})\end{gathered}$}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$}$

Além disso, sabemos também que o coeficiente angular da reta é numericamente igual à derivada primeira da função no ponto de abscissa especificada, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - \left[-(2^{2}) + 2\cdot2\right] = \left[-2\cdot1\cdot2^{2 - 1} + 1\cdot2\cdot2^{1 - 1}\right]\cdot\left[x - 2\right]\end{gathered}$}$