Question

qual a equação da reta que passa por P(3,1), intercepta (r)3x-y=0 em A e (s) x+5y=0 em B tal que P é o ponto médio do segmento AB.

Answer 1

Vamos lá.

Veja que:

i) Para a reta "r", que é:

3x - y = 0, temos que: para x = 0; y = 0; e para x = 1; y = 3.
Assim, para traçarmos o gráfico da reta "r", utilizamos os seguintes pontos:
(0; 0) e (1; 3)

ii) Para a reta "s"., que é:

x + 5y = 0, temos que: para x = 0; y = 0 e para x = 5; y = - 1.
Assim, para traçarmos o gráfico da reta "s", utilizamos os seguintes pontos:
(0; 0) e (5; -1)

iii) Agora note que se utilizarmos um dos pontos  para traçar o gráfico da reta "r", que foi o ponto (1; 3), e um dos pontos para traçar a reta "s", que foi o ponto (5; -1), vamos notar que o ponto P(3; 1) é ponto médio desses dois pontos utilizados,  ou seja: A(1; 3) e B(5; -1).

Veja como isso é verdade: se P(3; 1) é ponto médio de A(1; 3) e B(5; -1), então teremos que:

iii.a)  a abscissa "3" do ponto P(3; 1) foi encontrada assim:

3 = (1+5)/2
3 = (6)/2
3 = 6/2
3 = 3 <---- Verdadeiro.

iii.b) A ordenada "1" do ponto P(3; 1) foi encontrada assim:

1 = (3+(-1))/2
1 = (3-1)/2
1 = (2)/2
1 = 2/2
1 = 1 <--- Verdadeiro.

iv) Assim, a reta que passa em P(3; 1) também passa em A(1; 3) e em B(5; -1)
Então o coeficiente angular (m) da reta que passa nesses três pontos será [basta escolhermos "2" desses pontos para encontrar "m". Então vamos escolher os pontos A(1; 3) e B(5; -1)].
Assim, o coeficiente angular (m) da reta que passa em A(1; 3) e B(5; -1) será dado por:

m = (-1-3)/(5-1)
m = - 4 / 4
m = - 1 <--- Este é o coeficiente angular da reta que passa nos três pontos dados, ou seja, passa nos pontos A(1; 3); P(3; 1) e B(5; -1).
Vamos, agora, encontrar qual é a equação dessa reta. Para isso, basta que utilizemos o coeficiente angular (m = -1) e apenas um dos pontos por onde a reta passa. Vamos escolher o ponto A(1; 3).Note, a propósito, que se você já conhecer o coeficiente angular (m) e um dos pontos por a reta passa (xo; yo), a equação da reta será encontrada pela fórmula: y-yo = m*(x-xo). Assim, como já sabemos que m = -1 e utilizando o ponto A(1; 3), teremos:

y - 3 = - 1*(x - 1)
y - 3 = - x + 1 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
y - 3 + x - 1 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, ficamos com:

x + y - 4 = 0 <--- Esta é a resposta. Esta é a reta que passa nos três pontos dados (apenas pra você ter uma ideia, veja que se você substituir o "x" de cada um dos pontos, encontrará o "y" correspondente àquele ponto. Tente e verá que isso é verdade).

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.