Qual a equação da parábola de foco (-4,-2) e diretriz 2x + y = 3
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Resposta:
Parábolas são normalmente conhecidas como gráficos de funções do segundo grau. Elas também podem ser vistas como o conjunto de todos os pontos cuja distância de um certo ponto (o foco) é igual à sua distância de uma determinada reta (a diretriz).
Quer saber mais sobre foco e diretriz de uma parábola? Confira este vídeo.
Equação da parábola a partir do foco e da diretriz
Dado o foco e a diretriz de uma parábola, podemos encontrar a equação da parábola. Considere, por exemplo, a parábola cujo foco está em (-2,5)(−2,5)left parenthesis, minus, 2, comma, 5, right parenthesis e a diretriz é y=3y=3y, equals, 3. Começamos definindo um ponto geral na parábola (x,y)(x,y)left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
Usando a fórmula da distância, descobrimos que a distância entre (x,y)(x,y)left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e o foco (-2,5)(−2,5)left parenthesis, minus, 2, comma, 5, right parenthesis é \sqrt{(x+2)^2+(y-5)^2}
(x+2)
2
+(y−5)
2
square root of, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, plus, left parenthesis, y, minus, 5, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, end square root, e que a distância entre (x,y)(x,y)left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e a diretriz y=3y=3y, equals, 3 é \sqrt{(y-3)^2}
(y−3)
2
square root of, left parenthesis, y, minus, 3, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, end square root. Na parábola, essas distâncias são iguais a:
\begin{aligned} \sqrt{(y-3)^2} &= \sqrt{(x+2)^2+(y-5)^2} \\\\ (y-3)^2 &= (x+2)^2+(y-5)^2 \\\\ \blueD{y^2}-6y\goldD{+9} &= (x+2)^2\blueD{+y^2}\maroonD{-10y}+25 \\\\ -6y\maroonC{+10y}&=(x+2)^2+25\goldD{-9} \\\\ 4y&=(x+2)^2+16 \\\\ y&=\dfrac{(x+2)^2}{4}+4\end{aligned}
(y−3)
2
(y−3)
2
y
2
−6y+9
−6y+10y
4y
y
=
(x+2)
2
+(y−5)
2
=(x+2)
2
+(y−5)
2
=(x+2)
2
+y
2
−10y+25
=(x+2)
2
+25−9
=(x+2)
2
+16
=
4
(x+2)
2
+4
Explicação passo-a-passo: