Question

qual a equação da circunferência que passa por A(-3,0) B(2,5) C(1,6)

Answer 1

Olá.

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• A(-3,0) B(2, 5) C(1, 6)

• Encontrando o ponto médio do segmento AB:

A(-3,0) B(2, 5)

$\cdot \: xM = \frac{xA + xB}{2} \\ \cdot \: xM = \frac{-3 + 2}{2} = \frac{-1}{2} \\ \\ \cdot \: yM = \frac{yA + yB}{2} \\ \cdot \: yM = \frac{0 + 5}{2} = {5}{2}$

• Ou seja, o ponto médio do segmento AB é (-1/2, 5/2). Calculando o coeficiente angular do segmento AB:

$m = \frac{yB - yA}{xB - xA} \\ \\ m = \frac{5 - 0}{2 - (-3)} \\ \\ m = \frac{5}{5} \\ \\ m = 1$

• Esse é o coeficiente angular do segmento. No entanto, o coeficiente angular da mediatriz AB é dado pelo inverso negativo do coeficiente angular do segmento:

$a = -(m)^{-1} \\ a = - \frac{1}{1} \\ a = -1$

• A equação da mediatriz AB é a reta que passa pelo ponto médio (-1/2, 5/2) com o coeficiente angular igual a -1.

$y - \frac{5}{2} = -1 (x - (\frac{-1}{2})) \\ \\ y - \frac{5}{2} = -x + \frac{1}{2} \\ \\ x = -x + 2$

• Agora, precisamos fazer o mesmo processo para o segmento BC:

B(2,5) C(1,6)

$xM = \frac{(2 + 1)}{2} = \frac{3}{2} \\ \\ yM = \frac{(5 + 6)}{2} = \frac{11}{2} \\ \\ \\ m = \frac{(6 - 5)}{(1 - 2)} \\ \\ m = \frac{1}{-1} \\ \\ m = -1 \\ \\ a = \frac{-1}{m} \\ \\ a = \frac{-1}{-1} \\ \\ a = 1 \\ \\ \\ y - \frac{11}{2} = 1 \times (x - (\frac{3}{2})) \\ \\ y - \frac{11}{2} = x - \frac{3}{2} \\ \\ y = x - \frac{3}{2} + \frac{11}{2} \\ \\ y = x + \frac{8}{2} \\ \\ y = x + 4$

• Com as duas equações das mediatrizes, podemos achar suas coordenadas de intersecção fazendo um sistema:

$\left \{ {{y = -x + 2} \atop {y = x + 4}} \right. \\ \\ \\ 2y = 6 \\ y = 3 \\ \\ \\ y = x + 4 \\ 3 = x + 4 \\ x = -1$

• As coordenadas do centro são (-1, 3). Com isso, podemos formular a equação geral da circunferência e encontrar seu raio ao substituir x e y por qualquer um dos pontos (A, B ou C):

$(x - (-1))^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}$

• Usando B(2, 5):

$(2 + 1)^{2} + (5 - 3)^{2} = r^{2} \\ \\ 3^{2} + 2^{2} = r^{2} \\ \\ 9 + 4 = r^{2} \\ \\ r^{2} = 13 \\ \\ r = \sqrt{13}$

• Ou seja, o raio da circunferência mede raíz de 13 u.m.

Bons estudos.