Question

qual a equação da circunferência (normal e reduzida)de centro C=(0,3) e tangente ao eixo das abscissas? (eixo x)​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as equações reduzida e geral da referida circunferência são, respectivamente:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\tt \lambda: x^{2} + (y - 3)^{2} = 9\:\:\:}}\end{gathered} }$

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\tt \lambda: x^{2} + y^{2} - 6y = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Seja o centro da circunferência:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} C(0,\,3)\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Encontrar o ponto de tangência da circunferência com o eixo das abscissas.

        Se a abscissa do centro é "0" e, sabendo que a referida circunferência é tangente ao eixo das abscissas, nos convencemos que a circunferência é tangente ao eixo das abscissas no ponto:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} O(0,\,0)\end{gathered}$

• Determinar o valor do raio da circunferência.

         O raio da circunferência é igual à distância entre os pontos "C" e "O". Então, temos:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} r = d_{\overline{OC}}\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(x_{C} - x_{O})^{2} + (y_{C} - y_{O})^{2}}\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (3 - 0)^{2}}\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{0^{2} + 3^{2}}\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{9}\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:r = 3\:u.\,c.\end{gathered}$

• Montar a equação reduzida da circunferência. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = r^{2}\end{gathered}$

         Substituindo os dados na equação "I", temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 0)^{2} + (y - 3)^{2} = 3^{2}\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + (y - 3)^{2} = 9\end{gathered}$

         Portanto, a equação reduzida é:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda: x^{2} + (y - 3)^{2} = 9\end{gathered}$

• Montar a equação geral da circunferência. Para isso, basta expandir os termos da equação reduzida e, em seguida, simplificar a equação, ou seja:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + (y - 3)^{2} = 9\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} - 6y + 9= 9\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} - 6y + 9 - 9 = 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} - 6y = 0\end{gathered}$

        Portanto, a equação geral é:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda: x^{2} + y^{2} - 6y = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$