Question

qual a equação √2(x+1) = 1 - 2x?

Answer 1

√2(x+1) = 1 - 2x
√2x+2 = 1 - 2x
2x + 2 = (1 - 2x )²
2x+2 = 4x² + 1 - 4x
0 = 4x² - 2x -  4x + 1 +3
0 = 4x² - 6x + 3       ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ x = 6 +/- √-6² - 4·4·3
                                                                                    2·4

Answer 2

$\sqrt{2\left(x+1 \right )}=1-2x\\ \\ \sqrt{2\left(x+1 \right )}=3-2x-2\\ \\ \sqrt{2\left(x+1 \right )}=3-2\left(x+1 \right )$


Fazemos a substituição

$\boxed{y=\sqrt{2\left(x+1 \right )} \Rightarrow y^{2}=2\left(x+1 \right )}\\ \\ 2x+2=y^{2}\\ \\ 2x=y^{2}-2\\ \\ \boxed{x=\dfrac{y^{2}-2}{2}}$

onde $y\geq0$, pois é raiz quadrada de um número real positivo.


Substituindo na equação

$\sqrt{2\left(x+1 \right )}=3-2\left(x+1 \right )\\ \\ y=3-y^{2}\\ \\ y^{2}+y-3=0\\ \\ \\ \Delta=\left(1\right)^{2}-4\cdot \left(1\right )\cdot \left(3 \right )\\ \\ \Delta=1+12=13\\ \\ \\ y=\dfrac{\left(-1 \right )\pm\sqrt{13}}{2 \cdot \left(1 \right )}\\ \\ y=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} y=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}&\text{ ou }&y=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)} \end{array}\\ \\ \\ y=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$


Voltando à variável original $x$:

$x=\dfrac{y^{2}-2}{2}\\ \\ x=\dfrac{\left(\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)^{2}-2}{2}\\ \\ x=\dfrac{\left(\dfrac{1-2\sqrt{13}+13}{4} \right )-2}{2}\\ \\ x=\dfrac{\left(\dfrac{14-2\sqrt{13}}{4} \right )-2}{2}\\ \\ x=\dfrac{14-2\sqrt{13}-8}{4 \cdot 2}\\ \\ x=\dfrac{6-2\sqrt{13}}{4 \cdot 2}\\ \\ x=\dfrac{2\cdot \left(3-\sqrt{13} \right )}{4 \cdot 2}\\ \\ \boxed{x=\dfrac{3-\sqrt{13}}{4}}$