Question

Qual a distância entre as retas x+y=3 e a reta y= -x-50 ?

Answer 1

Seja a reta r: x + y = 3 ⇔ x + y - 3 = 0 ⇒ P =(1,2) ∈ r. 
Seja a reta s: y = -x - 50 ⇔ x + y + 50 = 0 ( na forma geral)
 r // s ⇔ mr = ms = 1 (mr coeficiente angular de r) 

s:  x + y + 50 = 0 
P(1,2)

Agora basta calcular dP,s
dP,s = |1*1 +1*2 + 50|/ |√1² + 1²|
dP,s = |1 + 2 + 50 | / |√2 |
dP,s = 53/√2  ( Racionalizando fica)
dP,s = (53√2)/2

Segue anexo uma figura para visualizar a situação.

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Obrigado pela oportunidade. 
Boa sorte, bons estudos.
SSRC - 2015 
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Answer 2

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( \dfrac{52\sqrt{2}}{2} \Bigg)\bigg)\Big)\big))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \LaTeX$

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Explicação passo-a-passo:__________✍

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Olá Anderson, como estás nestes tempos de quarentena? Como vão os estudos à distância? Espero que bem.

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Temos que a equação geral para a distância entre duas retas é dada por

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$d_{(r1, r2)} = \dfrac{| c1 - c2 |}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\\\\\Para\ duas\ retas\ r_1\ e\ r_2\ escritas\ na\ forma\\\\\\\begin{cases} \ r1: ax + by = c1\\\\\ \ r2: ax + by = c2\end{cases}$

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Mas e se não lembrarmos da fórmula na hora h? Bom, podemos deduzir uma forma alternativa dela geometricamente da seguinte forma:

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Lembremos da equação geral das retas na forma de um polinômio de primeiro grau: y = ax + b, sendo a o coeficiente angular da reta (a inclinação dela com relação ao eixo x) e b o coeficiente linear da reta (o valor de y em que a reta cruza com o eixo y).

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Sendo r e s duas retas paralelas temos 3 possibilidades (sugiro que você pegue um papel, um lápis, trace três planos cartesianos distintos e em cada um deles trace as três possibilidades para visualizar melhor a explicação ☺)

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I) r e s são retas paralelas ao eixo x, ou seja, possuem inclinação zero e são, portanto, constantes em y (a=0) sendo, portanto, funções de grau zero.

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II) r e s são retas paralelas ao eixo y, ou seja, possuem inclinação de 90º e são, portanto, constantes em x não sendo, portanto, funções de y = f(x).

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III) r e s possuem inclinação diferente de 0º e de 90º e portanto ambas interceptam tanto o eixo x como o eixo y.

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Vamos verificar nossas retas:

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$r: y_r = (-1)x_r + 3\\\\\\a = -1\\b = 3\\\\\\s: y_s = (-1)x_s + (-50)\\\\\\a = -1\\b = -50$

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Portanto, como a ≠ 0, y = f(x) e a1 = a2 temos que ambas são paralelas e a inclinação delas corresponde a -1

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Sendo assim, poderemos encontrar a distância entre ambas, geometricamente, através de um triângulo retângulo formado entre os seguintes pontos

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$PA = (x_1, 0)\\\\PB = (x_2, 0)\\\\PC = (x_2, y_1)$

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PA e PB são os pontos em que ambas as retas interceptam o eixo x, ou seja, pontos em que y é igual a zero. Para encontrá-los basta que igualemos y à zero na equação de cada uma delas.

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$r: 0 = (-1)x_r + 3\\\\-3 = (-1)x_r\\\\\dfrac{-3}{-1} = x_r\\\\x_r = 3\\\\\\s: 0 = (-1)x_s + (-50)\\\\50 = (-1)x_s\\\\\dfrac{50}{-1} = x_s\\\\x_s = -50\\\\\\PA = (3, 0)\\\\PB = (-50, 0)$

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A distância entre eles PA e PB será de

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$d_x = | 3 - (-50) |\\\\d_x = | 53 |\\\\d_x = 53$

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PC pode ser encontrado ao colocarmos o valor de x2, que encontramos no passo anterior para a reta s, na equação de r.

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$y_2 = (-1) \cdot (-50) + 3\\\\y_2 = 50 + 3\\\\y_2 = 53\\\\\\PC = (-50, 53)$

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A distância entre PB e PC será de

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$d_y = | 0 - 53 |\\\\d_y = | -53 |\\\\d_y = 53$

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Veremos em seguida que precisaremos saber o sen(α) para encontrarmos nossa distância entre as retas e, para isso, precisaremos encontrar antes a distância entre PA e PC. Pelo Teorema de Pitágoras temos que

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$D_{PA, PC} = \sqrt{(53)^2 + (53)^2}\\\\\\D_{PA, PC} = \sqrt{2809 + 2809}\\\\\\D_{PA, PC} = \sqrt{5618}\\\\\\D_{PA, PC} = \sqrt{5618}$

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Com isso agora podemos observar que a altura do triângulo ABC com relação ao vértice B mede exatamente a distância entre as duas retas! (tendo em vista que ela é um segmento perpendicular à ambas as retas e que liga ambas) e para encontrá-la temos dois triângulos retângulos com um ângulo α, sendo um deles o nosso triângulo ABC e o outro o triângulo ABD (sendo D o ponto no segmento AC formado pelo segmento que sai do vértice B e vai de forma perpendicular até o segmento AC). Portanto, sendo ambos os triângulos congruentes (possuem um ângulo reto e um ângulo α) temos a relação de sen (α) para ambos de forma que

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$sen(\alpha) = \dfrac{53}{\sqrt{5618}} = \dfrac{d_{r,s}}{53}\\\\\\\dfrac{53}{\sqrt{5618}} = \dfrac{d_{r,s}}{53}\\\\\\ d_{r,s} = \dfrac{53 \cdot 53}{\sqrt{5618}}\\\\\\ d_{r,s} = \dfrac{2809}{\sqrt{5618}}$

$d_{r,s} = \dfrac{2809}{53 \sqrt{2}}$

$d_{r,s} = \dfrac{53}{\sqrt{2}}$

$d_{r,s} = \dfrac{53\sqrt{2}}{2}$

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➥ $\boxed{ \ \ \ d_{r, s} = \dfrac{53\sqrt{2}}{2} \ \ \ }$ ✅

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Bons estudos. ☕

(Dúvidas nos comentários)

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."