Question

qual a discriminante e a rais da equação x²-2x+4=0

Answer 1

O discriminante de uma equação do 2º grau na forma $ax^{2}+bx+c=0$ é

$\Delta=b^{2}-4ac$


E as desta equação são dadas por

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$


Para a equação $x^{2}-2x+4=0$, temos

$a=1,\;\;b=-2,\;\;c=4$


O discriminante é

$\Delta=\left(-2 \right )^{2}-4\cdot\left(1 \right )\cdot \left(4 \right )\\ \\ \Delta=4-16\\ \\ \Delta=-12$


Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais.

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Esta equação possui apenas raízes complexas (ou imaginárias):

$\Delta=-12\\ \\ \Delta=2^{2}\cdot 3\cdot \left(-1 \right )\\ \\ \\ x=\dfrac{-\left(-2 \right )\pm \sqrt{2^{2}\cdot 3\cdot \left(-1 \right )}}{2\cdot \left(1 \right )}\\ \\ x=\dfrac{2\pm 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{-1}}{2}$


Sendo $i=\sqrt{-1}$ a unidade imaginária, temos então que

$x=\dfrac{2\pm 2\sqrt{3}\,i}{2}\\ \\ x=\dfrac{2\cdot\left(1 \pm \sqrt{3}\,i \right )}{2}\\ \\ x=1 \pm \sqrt{3}\,i\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=1+\sqrt{3}\,i&\text{ ou }&x=1-\sqrt{3}\,i \end{array} }$