Question

Qual a diferença entre a maior e a menor raiz da equação
binomial:(10/x)+(10/×+1)=(11/4)
é igual a quanto?​

Answer 1

Vamos resolver essa questão por duas maneiras. A mais facil (aplicação das teorias) e a mais dificil (MMC + simetria)

i

Da simetria do triangulo de Pascal temos:

$\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$

Para o nosso caso, podemos escrever que

$\binom{11}{4}=\binom{11}{11-4}=\binom{11}{7}$

Com base na simetria do triangulo de Pascal teremos então 2 situacoes:

$\binom{10}{X}+\binom{10}{X+1}=\binom{11}{4}$

$\binom{10}{X}+\binom{10}{X+1}=\binom{11}{7}$

De acordo com a  Relação de Stifel, temos

$\binom{n}{p-1}+\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p}$

Aplicando essa relação nos binomios podemos concluir

X + 1 = 4 ⇒ X = 3

X + 1 = 7 ⇒ X = 6

(conforme Relação de Stifel):

$\binom{10}{X}+\binom{10}{X+1}=\binom{11}{4}\Leftrightarrow \binom{10}{3}+\binom{10}{4}=\binom{11}{4}$

$\binom{10}{X}+\binom{10}{X+1}=\binom{11}{7}\Leftrightarrow \binom{10}{6}+\binom{10}{7}=\binom{11}{7}$

ii

A simetria do triangulo de Pascal tambem será importante aqui. Mas vamos desenvolver a equacao....

Sabemos que

a) (10 - X)! = (10 - X).(9 - X)!

b) (X + 1)! = (X + 1).X!

c) [10 - (X + 1)] = (9 - X)

$\binom{10}{X}=\frac{10!}{X!(10-X)!}=\frac{10!}{X!(10-X)(9-X)!}$

$\binom{10}{X+1}=\frac{10!}{(X+1)![10-(X+1)]!}=\frac{10!}{(X+1)X!(9-X)!}$

(depois veremos o 2º membro)

$\frac{10!}{X!(10-X)(9-X)!}+\frac{10!}{(X+1)X!(9-X)!}$ (MMC)

$\frac{10!(X+1)+10!(10-X)}{X!(10-X)(9-X)!(X+1)}=\frac{10![(X+1)+(10-X)]}{X!(10-X)(9-X)!(X+1)}$

$\frac{10![11]}{X!(10-X)(9-X)!(X+1)}$

como dito acima, (X + 1).X! = (X + 1)! e (10 - X).(9 - X)! = (10 - X)! logo

$\frac{10!.11}{(X+1)!(10-X)!}=\frac{11!}{(X+1)!(10-X)!}=\frac{11!}{4!(7)!}$

verificando a expressao acima podemos concluir que

X + 1 = 4  ⇒ X = 3

ou

10 - X = 7 ⇒ X = 3

Pela simetria do triangulo de Pascal tambem teremos a expressao

$\frac{11!}{(X+1)!(10-X)!}=\frac{11!}{7!(4)!}$

X + 1 = 7  ⇒ X = 6

ou

10 - X = 4 ⇒ X = 6

Como pedido na questão, a diferença entre a maior e a menor raiz será:

6 - 3

3

(caso o Latex nao apareça, atualizar a pagina)