Question

Qual a derivada parcial de z=x/y^2 sendo x= u+v-1 e y = u-v-1 ?

Answer 1

Resposta:

zx (x, y) = 1 / (u - v - 1)²

zy (x, y) = -2 (u + v - 1) / (u - v - 1)³

Explicação passo-a-passo:

Conceito de derivada parcial

Quando temos uma função com várias variáveis, podemos obter sua derivada parcial, que consiste no seguinte procedimento: a gente vai derivar a função em relação a uma delas e considerar as demais como constantes.

Não entendeu? Bom, a função que você me deu tem como variáveis x e y.

Derivada parcial em relação a x: a gente considera o x como uma variável e o y como uma constante.

Derivada parcial em relação a y: a gente considera y como variável e considera y uma constante.

Utilizamos a seguinte notação:

fx (x, y) e fy (x, y)

Regra geral de derivada

Conhecida como regra do tombamento.

Se eu tenho a função:

f(x) = xⁿ

Sua derivada será:

$f(x)' = n \times {x}^{n - 1}$

Problema

Temos duas variáveis, x e y, e queremos a derivada parcial. Como ele não especifica em relação a quem, farei em relação a x e em relação a y, ok?

Em relação a x

zx (x, y) = x' / y²

Lembre: y é como uma constante!

= 1 × x^{1-1} / y²

z x (x, y) = x⁰ / y²

zx (x, y) = 1 / y²

Sabendo que y = u - v - 1

zx (x, y) = 1/ (u - v - 1)²

Desenvolvendo o quadrado:

zx (x, y) = 1 / (u² - 2uv - 2u + v² + 2v + 1)

Em relação a y

utilizando uma propriedade de potência, podemos reescrever a função z como:

z = x × y^{-2}

zy (x, y) = x × -2 × y^{-2-1}

zy (x, y) = - 2xy^{-3}

zy (x, y) = -2x / y³

Sabendo que x = u + v - 1 e y = u - v - 1:

zy (x, y) = - 2(u + v - 1) / (u - v - 1)³

Se quiser, você pode abrir o cubo, depende de como está o gabarito.