Question

Qual a derivada implícita de x^2+xy+y^2=3 ?

Answer 1

Boa tarde!

Derivada implícita dy/dx de x² + xy + y² = 3

x² + xy + y² = 3


Tratar y com y(x)

Diferenciar os dois lados da equação em função de "x":

d/dx(x² + xy + y²) = d/dx(3)  <--- chamaremos essa equação de (I) e resolver essas derivadas separadamente:

→ d/dx(x² + xy + y²)

Aplicando a regra da soma/diferença, que diz:

(f ± g)' = f ' ± g '

Então:

d/dx(x² + xy + y²)

= d/dx(x²) + d/dx(x.y) + d/dx(y²)  <---- vamos chamar essa equação de (II) e também resolver essas derivadas separadamente:

⇒d/dx(x²)

Aplicando a regra da potencia:  d/dx(x^a) = a . x^(a-1) <--- o simbolo "^" significa elevado

d/dx(x²)

= 2 . x^(2-1)

= 2x


⇒d/dx(x.y)

Aplicando a regra do produto:  

(f . g)' = f '. g + f . g '    <----  f = x , g = y

então:

d/dx(x.y)

= d/dx(x).y + x . d/dx(y)

= 1 . y + x . d/dx(y)

Simplificando:

= y + x.d/dx(y)

⇒d/dx(y²)

Aplicando a regra da cadeia: 

d f(u)/dx = (df/du) . (du/dx)

y = u

então:

d/dx(y²)

= d/du(u²) . d/dx(y)   <--- regra da potencia na primeira derivada dessa equação

= 2 . u^(2-1) . d/dx(y)

= 2u . d/dx(y) <--- substitui de volta u = y

= 2y . d/dx(y)


Agora substituindo esses três ultimos resultados em (II), temos:

d/dx(x²) + d/dx(x.y) + d/dx(y²)

= 2x + y + x.d/dx(y) + 2y . d/dx(y)


Resolvendo a segunda parte da derivada de (I)

→d/dx(3)

Como se trata de uma constante:

d/dx(3)

= 0


Substituindo os dois ultimos resultados em (I), temos:


d/dx(x² + xy + y²) = d/dx(3)

2x + y + x.d/dx(y) + 2y . d/dx(y) = 0


Para fins convencionais, vamos chamar os d/dx(y) = y' , ok? :)

2x + y + x.y' +2y.y' = 0

Vamos isolar o y':

x . y' + 2y.y' = -2x - y   <--- do lado esquerdo da igualdade fatoramos o termo em comum y'

y'(2y + x) = -2x - y <--- passa o (2y + x) dividindo pro outro lado da igualdade

y' = -2x - y / (2y + x)  <--- em cima, na sua resposta, ele deixou o sinal de menos para fora

y' = -(2x + y) / (2y + x)


Resposta:

y' = -(2x + y) / (2y + x)

Answer 2

$\mathsf{x^2+xy+y^2=3}\\ \\ \boxed{\mathsf{f(x)=x^n\rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}}}\\ \\ \mathsf{2\cdot x^{2-1}+(1\cdot y+x\cdot y')+2\cdot y^{2-1}\cdot y'=0}\\ \\ \mathsf{2x+y+x\cdot y'+2y\cdot y'=0} \\ \\ \mathsf{x\cdot y'+2y\cdot y'=-2x-y}\\ \\ \mathsf{y'(x+2y)=-(2x+y)}\\ \\ \boxed{\mathsf{y'=\frac{-(2x+y)}{x+2y}}}$