qual a derivada de y = sec^2x
Soluções para a tarefa
Por regra de cadeia, substituindo u = secx. y = u^2.
dy/dx = dy/du × du/dx
Como secx = 1/cosx, podemos substituir cosx por v. u = 1/v.
du/dx = du/dv × dv/dx = -1/v^2 × (-sinx)
du/dx = sinx/cos^2x = tanxsecx
dy/du = 2u = 2secx
dy/dx = 2secx × tanxsecx = 2tanxsec^2x
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Precisamos aplicar a regra da cadeia nesse problema. Temos que
y = sec²x => y = f(g(x)), sendo
f(x) = x²
g(x) = secx
Assim,
y' = f'(g(x)).g'(x)
Fazendo u = secx, vem que
d/dy = d/dx[f(g(x))] => d/du[u²].d/dx[secx]
• Pela regra da potência, vem que
d/du[u²] = 2u
• Sabemos que secx = 1/cosx, logo
d/dx[secx] = d/dx[1/cosx]
Pela regra do quociente, temos
d/dx[1/cosx] = (1'.cosx - 1.cox')/cos²x = (0 - (-senx)/cos²x = senx/cos²x = senx/cosx.1/cosx = tgx.secx
Logo
d/dy = 2.u.tgx.secx
Como u = secx, vem que
d/dy = 2.secx.tgx.secx = 2.sec²x.tgx