Question

qual a derivada de y= (a-x/a+x)^3

(favor fazer um passo a passo, se for pra fazer direto, nem responda..)

Answer 1

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Calcular a derivada da função:

$\mathsf{y=\left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^{3}\qquad\qquad (com~a~constante)}$


Podemos enxergar y como uma função composta:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{y=u^3}\\\\ \mathsf{u=\dfrac{a-x}{a+x}} \end{array}\right.$


Então, aplica-se a Regra da Cadeia aqui. Dessa forma, a derivada de y com relação a x é

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{du}(u^3)\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)}$


Para a primeiro fator, use a regra da potência, e para o segundo fator, use a regra do quociente:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=3u^{3-1}\cdot \dfrac{\frac{d}{dx}(a-x)\cdot (a+x)-(a-x)\cdot \frac{d}{dx}(a+x)}{(a+x)^2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=3u^2\cdot \dfrac{(-1)\cdot (a+x)-(a-x)\cdot 1}{(a+x)^2}\qquad\qquad mas~~u=\dfrac{a-x}{a+x}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \dfrac{-a-\diagup\hspace{-7}x-a+\diagup\hspace{-7}x}{(a+x)^2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=3\cdot \left(\dfrac{a-x}{a+x}\right)^2\cdot \dfrac{-2a}{(a+x)^2}}$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=-\,6\cdot \dfrac{(a-x)^2}{(a+x)^2}\cdot \dfrac{a}{(a+x)^2}}$


∴      $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=-\,\dfrac{6a\cdot (a-x)^2}{(a+x)^4}}\end{array}}$          ✔


Bons estudos! :-)


Tags:  derivada função composta regra da cadeia regra do quociente cálculo diferencial integral

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: e como ficaria essa.mesma questão sem elevar ao cubo.