Question

qual a derivada de (x^1/2 + x)/x^2

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Buscamos a derivada da função racional: $\dfrac{x^{\frac{1}{2}}+x}{x^2}$

Existem duas maneiras de chegarmos ao mesmo resultado: aplicando a regra do quociente e simplificando a fração ao final ou aplicamos as propriedades de potência e calculamos a derivada.

Podemos reescrever a fração da seguinte forma:

$\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}$

Aplique a propriedade de da divisão de potências de mesma base: $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

$x^{\frac{1}{2}-2}+x^{1-2}$

Some os valores nos expoentes

$x^{-\frac{3}{2}}+x^{-1}$

Então, calcule a derivada da função

$(x^{-\frac{3}{2}}+x^{-1})'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma

$(x^{-\frac{3}{2}})'+(x^{-1})'$

Aplique a regra da potência

$-\dfrac{3}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}-1}+(-1)\cdot x^{-1-1}$

Some os valores no expoente

$-\dfrac{3}{2}\cdot x^{-\frac{5}{2}}-x^{-2}$

Esta é a derivada desta função.

Utilizando a regra do quociente, teríamos:

$\left(\dfrac{x^{\frac{1}{2}}+x}{x^2}\right)'\\\\\\ \dfrac{(x^{\frac{1}{2}}+x)'\cdot x^2-(x^{\frac{1}{2}}+x)\cdot x^2}{(x^2)^2}\\\\\\ \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}+1\right)\cdot x^2-(x^{\frac{1}{2}}+x)\cdot 2x}{x^4}$

$\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}+2}+x^2-(2x^{\frac{1}{2}+1}+2x^2)}{x^4}\\\\\\\ \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}+x^2-2x^{\frac{3}{2}}-2x^2}{x^4}\\\\\\ \dfrac{-\dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}-x^2}{x^4}\\\\\\ -\dfrac{3}{2}\cdot x^{-\frac{5}{2}}-x^{-2}~~\checkmark$