Qual a derivada de e^-t * [-2cos(3t)-(2/3)sen(3t)]
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A derivada de uma função exponencial e (euler), é a derivada do seu expoente vezes a função original. Dado isso, basta derivar o expoente e multiplicar pela função. Assim, temos
e^f(x) onde f(x) = -t(-2cos(3t)-2/3(sen(3t) que eu vou reescrever como
f(x) = 2t*cos(3t) + (2t/3)*sen(3t). Para derivar f(x), a gente usa a regra do produto. Luciano, note que a função se compõe de 2 produtos. (a derivada da primeira vezes a segunda + a derivada da segunda vezes a primeira);
Derivando 2t*cos(3t) = derivada 2t*cos(3t) + derivada cos(3t) * 2t
= 2* cos(3t) -6t*sen(3t)
Derivando (2t/3)*sen(3t) = 2/3*sen(3t) + 2t*cos(3t).
Ou seja, f '(x) = 2*cos(3t) -6t*sen(3t) + 2/3*sen(3t) +2t*cos(3t)
E a derivada final. é f '(x) *e^(f(x)), ou seja:
[2*cos(3t) +2/3*sen(3t) +2t*cos(3t) -6t*sen(3t)]*e^-t[-2cos(3t)-(2/3)sen(3t)]
e^f(x) onde f(x) = -t(-2cos(3t)-2/3(sen(3t) que eu vou reescrever como
f(x) = 2t*cos(3t) + (2t/3)*sen(3t). Para derivar f(x), a gente usa a regra do produto. Luciano, note que a função se compõe de 2 produtos. (a derivada da primeira vezes a segunda + a derivada da segunda vezes a primeira);
Derivando 2t*cos(3t) = derivada 2t*cos(3t) + derivada cos(3t) * 2t
= 2* cos(3t) -6t*sen(3t)
Derivando (2t/3)*sen(3t) = 2/3*sen(3t) + 2t*cos(3t).
Ou seja, f '(x) = 2*cos(3t) -6t*sen(3t) + 2/3*sen(3t) +2t*cos(3t)
E a derivada final. é f '(x) *e^(f(x)), ou seja:
[2*cos(3t) +2/3*sen(3t) +2t*cos(3t) -6t*sen(3t)]*e^-t[-2cos(3t)-(2/3)sen(3t)]
Lucianoarnoldleite:
Oi, a derivada de um número de euler não é ele mesmo? mas quando for euler com expoente composto não devemos fazer uma derivada diferente?
Não. A derivada de e^x é ela mesma APENAS em um caso (no caso de f(x) = e^x), por que a derivada de x é 1, e 1*e^x = e^x; É uma coincidência matemática, feita pela propria regra. Resumindo: derive o expoente e multiplique pela função original. Outro exemplo: e^(x^2), ficaria assim: 2x*e^(x^2).
Sim, então você colocou que a derivada de e^-t seria -t?
Não. A derivada de e^-t = -e^-t. Isso não consta na resolução, prezado Luciano. Não entendi bem o que o sr. apontou, se foi na resolução, eu achei mais simples multiplicar o -t pelo que estava contido dentro das chaves [ ] e só depois derivar. Se possível, seja mais claro.
Entendi, cara muito obrigado pela ajuda, Valeu!
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