Question

Qual a derivada da função y=ln(x^2+3)?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo 1 , Derivada d'uma função logaritmica :

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Têm-se a seguinte função logaritmica:

$\mathsf{y~=~ln\Big(x^2+3\Big) }$

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Note:

• Para derivar uma função logaritmica Composta , vamos seguir os Seguintes aspectos:

$\mathsf{Se~f_{(x)}~=~ln\Big(g_{(x)}\Big) }$ , Onde a g(x) é uma outra função , isto quer dizer que a nossa função g(x) é uma função Composta .

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Regra da Cadeia ( Aplicação ) :

$\mathsf{f_{(x)}~=~ln\Big(g_{(x)}\Big) }$

$\boxed{\mathsf{f_{(x)'}~=~\dfrac{1}{g_{(x)}}.\Big(g_{(x)}\Big)' }}}}$

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Resolução do exerçicio:

$\mathsf{y~=~ln\Big(x^2+3\Big) }$

$\mathsf{y'~=~\dfrac{1}{x^2+3}.\Big(x^2+3\Big)' }$

$\mathsf{y'~=~\dfrac{1}{x^2+3}.2x }$

$\boxed{\boxed{\mathsf{y'~=~\dfrac{2x}{x^2+3} }}}}$$\checkmark$

Espero ter ajudado bastante!)

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada da referida função é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = \frac{2x}{x^{2} + 3}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \ln(x^{2} + 3)\end{gathered}$

Observe que a função "y" é uma função composta. Desta forma, podemos reescreve-la como:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = h(x) = f(g(x))\end{gathered}$

Para calcular a derivada da função "h(x)", devemos utilizar a regra da cadeia. Neste caso, temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' = h'(x)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f'(g(x))\cdot g'(x)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{1}{x^{2} + 3}\cdot 2\cdot x^{2 - 1} + 0\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{2x}{x^{2} + 3}\end{gathered} }$

✅ Portanto, a derivada de "y" é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y' = \frac{2x}{x^{2} + 3}\end{gathered} }$

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Veja a solução gráfica represntada na figura: