Question

Qual a derivada da função f(x) = ((x-2)/(x+3)) pelo método dos limites?

Answer 1

Olá!
   
    A definição de derivada de uma função f definida nos reais é 


$f'(x) =\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\;\text{ou}\;\\ \\ \\ f'(x) = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

Usando a primeira definição aplicada à função do enunciado, temos:

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{(x+h-2)}{(x+h+3)}-\frac{x-2}{x+3}}{h} = \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{(x+3)(x+h-2)-(x+h+3)(x-2)}{(x+h+3)(x+3)}}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{x^2+x+hx+3h-6-x^2-x-hx+2h+6}{(x+h+3)(x+3)}}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{5h}{x^2+6x+hx+3h+9}}{h}= \lim_{h\to 0}\dfrac{5}{x^2+6x+hx+3h+9} = \\ \\ \\ = \dfrac{5}{x^2+6x+9} = \dfrac{5}{(x+3)^2}.$





Bons estudos!