Question

Qual a derivada da função f(x) pela DEFINIÇÃO.
$\: \: \: \: \ \: \bullet: \: \: \: \:\: \: \:\:\:\:\:\:\: f(x) = \cos(x^{2} )$
(ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*.✧​

Answer 1

Resposta:   $f'(x)=-2x\,\mathrm{sen}(x^2).$

Explicação passo a passo:

Calcular a derivada da função f(x) = cos(x²) usando a definição.

Por definição, para f(x) = cos(x²), a derivada é dada por

    $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\cos[(x+h)^2]-\cos(x^2)}{h}$

nos pontos em que o limite acima exista.

Utilizaremos uma das identidades de transformação de soma em produto (prostaférese):

   $\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-\,2\cdot \mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot \mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Para α = (x + h)² e β = x², o limite para o cálculo da derivada fica

   $\displaystyle=\lim_{h\to 0} \frac{-2\,\cdot \mathrm{sen}\!\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \mathrm{sen}\!\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{h}$

Reescreva convenientemente o quociente acima, para que apareça o limite trigonométrico fundamental.

    $\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{-2\cdot \mathrm{sen}\!\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \mathrm{sen}\!\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{(x+h)^2-x^2}\cdot \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

Multiplique o numerador e o denominador por 1/2:

    $\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{\frac{(x+h)^2-x^2}{2}}\cdot \frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\\\\\=\lim_{h\to 0}-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \frac{\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{\frac{(x+h)^2-x^2}{2}}\cdot \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

    $\displaystyle=\lim_{h\to 0}-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \frac{\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{\frac{(x+h)^2-x^2}{2}}\cdot \frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}\\\\\\=\lim_{h\to 0}-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \frac{\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{\frac{(x+h)^2-x^2}{2}}\cdot \frac{2xh+h^2}{h}$

    $\displaystyle=\lim_{h\to 0}-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \frac{\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{\frac{(x+h)^2-x^2}{2}}\cdot \frac{h\cdot (2x+h)}{h}\\\\\\\lim_{h\to 0}-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\cdot \frac{\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{\frac{(x+h)^2-x^2}{2}}\cdot (2x+h)\qquad (i)$

Agora, enxergamos o limite (i) acima como o limite do produto de três funções na variável h. Se o limite de cada fator existir, então o limite (i) existe. Verifiquemos:

    $\displaystyle\lim_{h\to 0}-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2+x^2}{2}\right]\\\\\\=-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+0)^2+x^2}{2}\right]\\\\\\=-\,\mathrm{sen\!}\left[\frac{2x^2}{2}\right]\\\\\\=-\,\mathrm{sen}(x^2)\qquad (ii)$

    $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{sen\!}\left[\frac{(x+h)^2-x^2}{2}\right]}{\frac{(x+h)^2-x^2}{2}}\\\\\\ =\lim_{u\to 0}\frac{\mathrm{sen}(u)}{u}\\\\\\=1\qquad (iii)$

   

onde foi feita a mudança de variável $u=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{2},$ e $u\to 0$ quando $h\to 0.$

Por fim, temos

   $\displaystyle\lim_{h\to 0} (2x+h)=2x+0=2x\qquad (iv)$

Logo, por (ii), (iii) e (iv), o limite (i) fica

    $=-\,\mathrm{sen}(x^2)\cdot 1\cdot 2x\\\\\\\therefore\quad f'(x)=-2x\,\mathrm{sen}(x^2)\quad \longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!