Question

Qual a correta solução da integração por partes ∫ e× sen × d× : correta solução para a integral. pode me ajudar?

Answer 1

Resposta:

$I=\sf\int\sf e^x\,sen(x)\,dx$

 

Para resolver essa integral, faça a integração por partes, na qual:

• $\int\sf u\,dv=uv-\int\sf v\,du$

Para isso, é necessário denotar por u e dv os fatores envolvidos no produto. Fazendo u = eˣ e dv = sen(x)dx, temos que:

• $\sf u=e^x\implies du=e^x\,dx$
• $\sf dv=sen(x)\,dx\implies v=-\,cos(x)$

 

$I=\sf e^x\,(-\,cos(x))-\int\sf-\,cos(x)\,e^x\,dx$

$I=\sf-\,e^x\,cos(x)+\int\sf cos(x)\,e^x\,dx$

Fazendo novamente a integração por partes, faça u = eˣ e dv = cos(x)dx, de modo que:

• $\sf u=e^x\implies du=e^x\,dx$
• $\sf dv=cos(x)\,dx\implies v=sen(x)$

$\begin{array}{l}I\sf=-\,e^x\,cos(x)+e^x\,sen(x)-\int\sf sen(x)\,e^x\,dx\\\\I\sf=-\,e^x\,cos(x)+e^x\,sen(x)-\underbrace{\sf\int\sf e^x\,sen(x)\,dx}_{\mathnormal{I}}\\I\sf=-\,e^x\,cos(x)+e^x\,sen(x)-\mathnormal{I}\\\\I+I\sf=-\,e^x\,cos(x)+e^x\,sen(x)\\\\2I\sf=-\,e^x\,cos(x)+e^x\,sen(x)\\\\\red{\boxed{I\sf=\dfrac{-\,e^x\,cos(x)+e^x\,sen(x)}{2}+\mathnormal{C}}~; ~\mathnormal{C}\in\mathbb{R}}\end{array}$