Question

qual a área máxima que pode ser associada a um dos retângulos cujo perímetro é 80m?

Answer 1

Oi. temos aqui um problema de otimização: 

O perímetro de um retângulo é a soma de seus lados. x e y serão seus lados. Então  para o perímetro ficaria:

2x+2y=80

A área do retângulo é dada por :

A= x*y

Vamos isolar uma das variáveis:
2x+2y=80
2x=80-2y        :(2)
x= 40-y

Substituindo x na fórmula da Área: 

A= x.y
A= (40-y)y
A= 40y-y²

Derivando a área e igualando a zero para obter o valor que maximiza a área:

A= 40y-y²
A'=40-2y

40-2y=0
-2y=-40 
y=40/2
y=20       

Agora para encontrar o valor de x substituimos na função do perímetro:

x= 40-y
x=40-20
x=20

Portanto o lados de x e y (que tornam a área máxima) valem 20 metros. Logo 

A= x.y
A=20.20
A=400 m²


Espero que goste :)

Answer 2

A área máxima do retângulo é de 400 m².

 Sabe-se que o perímetro é responsável por mensurar o contorno de uma figura sendo ele a soma de todos os lados da mesma, logo, o perímetro do retângulo é :

P = x + x + y + y , sendo : x = altura

                                         y = comprimento

P = 2x + 2y

Substituindo o valor de P = 80, temos que :

80 = 2x + 2y

x + y = 40 ( I )

A área é dado por :

A = x . y( II )

Isolando y na equação (II) obtemos:

y = A/x

Substituindo o valor de y na equação (I), temos :

x + A/x = 40

x² - 40x + A = 0 ( III)

 Observe que foi nos gerado uma equação de 2º grau, o x do vértice dessa parábola nos fornecendo o ponto máximo.

 Utilizando a equação podemos encontrar o x do vértice, o ponto máximo que x alcança. Logo:

Xv = -b/2.a

Xv = - (-40)/2.1

Xv = 20

Substituindo esse valor na equação (III) obtêm-se a área máxima. Veja:

x² - 40x + A = 0

20² - 40.20 = -A

400 - 800 = - A

A = 400

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