Question

Qual a área máxima obtida de um retangulo inscrito em um círculo de raio 5 cm.

é exercício de otimização de derivada, fiz de tudo e não consegui chegar em uma fução que eu deriva-se e chega-se ao resultado...

Dexter, Felipe, demonstre para mim..

Answer 1

Odeio essas questões de máximo e mínimo... Já falei pro DexteR que sempre as coisas são iguais, dá é raiva D: Mas vamos mostrar que tem que ser o quadrado inscrito.

i) Note que o diâmetro da circunferência é a diagonal do retângulo (um retângulo é um quadrilátero onde todos os ângulos são retos, logo o quadrado é um retângulo tbm), logo, chamando a diagonal de $d$, teremos que $d=10cm$. Sejam $a$ e $b$ as dimensões, os lados do retângulo. Teremos, então:

$a^2+a^2=d^2\Rightarrow a^2+b^2=10^2\Rightarrow a^2+b^2=100\\ \\ b^2=100-a^2\\ \\ \boxed{b=\sqrt{100-a^2}}$

ii) Agora que temos $b$ em função de $a$ podemos escrever a fórmula da área do retângulo, que é o que queremos maximizar, em função de $a$.

$S=a.b\Rightarrow S=a\sqrt{100-a^2}$

Temos $S$, a área do retângulo, em função de $a$, logo se derivarmos essa função em relação a $a$ e igualarmos a 0 encontramos o valor de $a$ que maximiza $S$:

$(\sqrt{100-a^2})'=-2a.\frac{1}{2\sqrt{100-a^2}}=-\frac{a}{\sqrt{100-a^2}}\\ \\ \\S'=(a\sqrt{100-a^2})'=\sqrt{100-a^2}-a.\frac{a}{\sqrt{100-a^2}}\\ \\ S'=\frac{100-a^2-a^2}{\sqrt{100-a^2}}=0\Leftrightarrow 100-2a^2=0\\ \\ a^2=50=2.25\Rightarrow \boxed{\boxed{a=5\sqrt2\ cm}}$

Como encontramos $a$ podemos facilmente encontrar $b$ pela relação que encontramos em i)

$b=\sqrt{100-a^2}=\sqrt{100-50}\\ \\ b=\sqrt{50}\\ \\ \boxed{\boxed{b=5\sqrt2 \ cm}}$

Logo as medidas do retângulo são $5\sqrt2$ e $5\sqrt2$ e a área, que é o que foi pedido, vale $50\ cm^2$.