Question

Qual a área do triângulo cujos vértices são as raízes e o vértice da parábola de função f (x) = x2 - x - 12 ?

Answer 1

um triangulo tem três vértices com coordenadas (x;y)
o enunciado diz que os vértices são as raízes da equação e a coordenada do vértice da parabola

então vou chamar de 
A = (x;y)vértice da primeira raíz
B = (x;y) vértice da segunda raíz
C =(x;y) o vértice que é a coordenada dos vértices da parabola
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na função as raízes são encontradas quando y =0
então
A = (x;0)
B = (x;0)
C = (x;y)
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$x^2-x-12=0$
coeficientes da parabola
a = 1
b = -1
c = -12
aplicando bhaskara
$\boxed{ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a} }$

substituindo os valores
$\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4*1*(-12)} }{2*1}= \frac{1\pm \sqrt{1+48} }{2} = \frac{1\pm \sqrt{49} }{2} \\\\\\x'= \frac{1-7}{2}=-3\\\\x''= \frac{1+7}{2} =4$

desta forma ja achamos dois vértices do triangulo
A=(-3;0)
B=(4;0)
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calculando as coordenadas do vertice da parabola
$V_x= \frac{-b}{2*a} = \frac{-(-1)}{2*1} = \frac{1}{2}$

a coordenada do vertice em x é 1/2

em y
$V_y= \frac{-(b^2-4*a*c)}{4*a} = \frac{-49}{4}$
essa é a coordenada do vértice em y
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os vértices do triangulo 
$A= (-3;0)\\\\ B= (4;0)\\\\ C = ( \frac{1}{2}; \frac{-49}{4})$

montando uma matriz...
essa matriz quando o resultado não é 0 ..sigifica que os pontos formam um triangulo
dividindo o determinante da matriz por 2..temos a area do triangulo
$\frac{|D|}{2}$
D = determinante..está em módulo pq a area é sempre positiva

resolvendo a matriz
$\left[\begin{array}{ccc}-3&0&1\\4&0&1\\ \frac{1}{2} & \frac{-49}{4} &1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}-3&0\\4&0\\ \frac{1}{2} & \frac{-49}{4} \end{array}\right] \\\\\\(1*4* \frac{-49}{4} )-(-3* \frac{-49}{4} )\\\\ \frac{-196}{4}- \frac{147}{4} \\\\ \frac{-196-174}{4} = \frac{-343}{4}$

como estamos medindo a area
fica positivo
$\frac{343}{4}$

dividindo por 2 temos a area do triangulo
$\boxed{\frac{ \frac{343}{4} }{2}= \frac{343}{8} (u.m)^2}$

u.m = unidade de medida