Question

Qual a área do triângulo ABC na figura?

Answer 1

Se você perceber, o cateto oposto dos dois ângulos dados é o mesmo.

Podemos calculá-lo da seguinte forma:

$c.o. = hip \cdot sen(\alpha) = 2 \sqrt{2} \cdot sen(45^{o}) = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$

A partir disso, podemos calcular o cateto adjascente do triângulo da direita:

$tan(\beta) = \frac{c.o.}{c.a} \rightarrow tan(30^{o}) = \frac{2}{c.a.} \rightarrow c.a = \frac{2}{tan(30^{o})}$

A tangente de 30° vale $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Então o cateto adjascente do triângulo da direita vale $2 \cdot \sqrt{3}$.

Precisamos saber também o cateto adjascente do triângulo da esquerda. Como o ângulo desse triângulo vale 45°, então os dois catetos são iguais e o cateto adjascente vale 2 também.

A soma dos dois catetos adjascentes vai nos dar o maior lado do triângulo inteiro: $lado_{maior} = 2 + 2 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot (1 + \sqrt{3}).$

A área do triângulo total será dada por:

$A = \frac{lado_{maior} \cdot \ hip_{esquerda} \cdot sen(\alpha)}{2} \\ A= \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \sqrt{2} \cdot sen(45^{o})}{2} \\ A = \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2} \\ A = (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 = 2 + 2 \sqrt{3}$