Question

Qual a area de um triangulo equilatero de medida 5cm? Segundo meu professor o resultado é 10,75cm mas não faço a minima ideia de como ele chegou nisso ja tentei de todas as formas. Se alguem poder me ajudar eu agradeço.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, conceituamos triângulo equilátero. Um triângulo é chamado equilátero quando todos os seus lados possuem exatamente a mesma medida. Nesta situação do problema, os lados do triângulo medem $5 \ \text{cm}$.

A área do triângulo é dada por,

$A_{\triangle}=\dfrac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}$

Sabemos que a base é um lado do triângulo, logo vale $5 \ \text{cm}$. Mas e altura?

A altura é o segmento que vai da metade da base até o vértice oposto (como na imagem). Esse segmento divide o triângulo em dois triângulos retângulos (que possuem um ângulo de 90º). Quando temos um triângulo retângulo podemos usar o Teorema de Pitágoras, onde

$\text{hipotenusa}^2=\text{cateto}^2+\text{cateto}^2$

Neste caso, a hipotenusa é um lado do triângulo equilátero, isto é, vale 5 cm, um cateto é a altura do triângulo e o outro cateto é a metade da base, isto é, 5/2. Logo, temos,

$5^2=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\text{altura}^2$

$25=\dfrac{25}{4}+\text{altura}^2$

$\text{altura}^2=25-\dfrac{25}{4}$

$\text{altura}^2=\dfrac{100}{4}-\dfrac{25}{4}$

$\text{altura}^2=\dfrac{100-25}{4}$

$\text{altura}^2=\dfrac{75}{4}$

$\text{altura}=\sqrt{\dfrac{75}{4}}$

$\text{altura}=\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}$

$\text{altura}=\dfrac{\sqrt{75}}{2}$

Com uma calculadora, obtemos um valor aproximado de $\approx 4,3$

Encontramos o valor da altura. Agora, podemos substituir na equação da área,

$A_{\triangle}=\dfrac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}$

$A_{\triangle}=\dfrac{5\cdot 4,3}{2}$

$A_{\triangle}=\dfrac{21,5}{2}$

$A_{\triangle}=10,75\ \text{cm}^2$