Qual a arché de Arquitas de Tarento?
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Arquitas cunhou o termo média harmónica, importante muito mais tarde na geometria projetiva e na teoria dos números, embora não a tivesse inventado.[8] De acordo com Eutócio, Arquitas resolveu o problema da duplicação do cubo à sua maneira com uma construção geométrica.[9] Antes dele, Hipócrates de Quíos reduziu este problema a encontrar médias proporcionais.
A teoria das proporções de Arquitas é tratada no livro VIII de Os Elementos de Euclides, onde se encontra a construção de duas médias proporcionais, equivalente à extração da raiz cúbica. De acordo com Diógenes Laércio, esta demonstração, que utiliza linhas geradas pelo movimento das figuras para construir os dois proporcionais entre as magnitudes, foi a primeira em que a geometria foi estudada com os conceitos da mecânica.[10] A curva de Arquitas, que ele usou na sua solução do problema da duplicação do cubo, é assim chamada por causa dele.
Política e militarmente, Arquitas parece ter sido a figura dominante de sua geração em Tarento, algo comparável a Péricles em Atenas meio século antes. Os tarentinos elegeram-no estratego, "líder do exército", sete anos seguidos — um passo que exigia que eles violassem a sua própria regra contra nomeações sucessivas. Ele teria sido invicto como general, em campanhas tarentinas contra os seus vizinhos do sul italiano. A Sétima Carta de Platão afirma que Arquitas terá tentado salvar Platão durante suas dificuldades com Dionísio II de Siracusa.