Question

Qual a alternativa correta?
A equação x² + Ax + B = 0, em que A e B são coeficientes reais, possuem as duas raízes reais e distintas v e w. Então v² + w² é igual a:
a: A² - B
b: A² + 2B
c: A² - 2B
d: A² + 2B²
e: A² - B²

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marciorosalen, que a resolução parece simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Tem-se a seguinte equação do 2º grau:

x² + Ax + B = 0, cujas raízes reais e distintas são: "v" e "w".

ii) Dados as informações acima, pede-se o valor da soma "v² + w²". 

iii) Veja como é simples. Temos que a equação é esta: x² + Ax + B = 0 e que as raízes reais e distintas dessa equação são: "v" e "w".

Note que a soma e o produto de raízes de uma equação do 2º grau , da forma ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'', são dados assim:

- Soma: x' + x'' = -b/a 
- Produto: x' * x'' = c/a

No caso da sua questão [x² + Ax + B = 0] temos que os coeficientes são estes: a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = A --- (é o coeficiente de x); c = B --- (é o coeficiente do termo independente). 

Assim, fazendo as devidas substituições na equação da sua questão, teremos: 

v + w = -A/1 ---- ou apenas: 
v + w = - A       . (I) 
e 
v * w = B/1 ---- ou apenas: 
v * w = B       . (II)


iv) Agora faremos o seguinte: vamos na expressão (I) e vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Note que a expressão (I) é esta: 

v + w = - A ---- vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:
(v + w)² = (-A)² -----  desenvolvendo, teremos: 
v + 2vw + w² = A²        . (III)


Mas veja que, conforme a nossa expressão (II), temos que v*w = B, então vamos substituir na expressão (III) acima. Vamos apenas repetir a expressão (III), que é esta: 

v² + 2vw + w² = A² --- substituindo-se "v*w" por "B", teremos:
v² + 2B + w² = A² ---- vamos passar "2B" para o 2º membro, ficando:
v² + w² = A² - 2B  <--- Pronto. Esta é a resposta. Opção "c". Ou seja, a soma pedida de "v²+w²" é a que encontramos acima (A²-2B).

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.