Question

Qual a alternativa correta?

Answer 1

Resposta:

Raio 2 e intervalo [-1,3)

Explicação passo-a-passo:

Pra achar raio de convergência de séries de potências geralmente usamos o teste da razão. Relembrando, ele diz que se temos uma série $\displaystyle \sum_{n =1}^\infty a_n$de termos não nulos, considerando o limite

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \left | \dfrac{a_ n}{a_ {n+1}} \right | = L$

Daí temos 3 casos:

L < 1 :  nesse caso a série é divergente

L > 1 : nesse caso a série é convergente

L = 1 ou o limite não existe: nesse caso o teste é inconclusivo (não sabemos se converge ou diverge)

Obs.: Em alguns livros, o teste é enunciado ao contrário, com o limite de a_(n+1) / a_n , dai os casos ficam trocados

No seu problema temos

$a_n = \dfrac{(x-1)^n}{n2^n}$

Logo, fazendo o limite temos

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \,\left| \dfrac{a_n}{a_ {n+1}}\right| = \lim_{n \to \infty}\,\left| \dfrac{\dfrac{(x-1)^n}{n2^n}}{\dfrac{(x-1)^{n+1} }{(n+1)2^{n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \, \left| \dfrac{n+1}{n} \cdot \dfrac{2}{x-1} \right| = \dfrac{2}{| x-1|}$

Como queremos que a série seja convergente, devemos ter

$\dfrac{2}{|x-1|} > 1 \implies |x-1| < \dfrac 12 \implies \dfrac{1}{2} < x < \dfrac 32$

$\dfrac{2}{|x-1|} > 1 \implies |x-1| < 2 \implies -1 < x < 3$

Assim, o raio de convergência é 2. Agora para o intervalo, já sabemos que (-1, 3) a série é convergente. Resta analisar os extremos.

Se x = -1 a série é

$\displaystyle \sum_{n =1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n}$

que é convergente. Mas se x = 3 a série é

$\displaystyle \sum_{n =1}^\infty \dfrac{1}{n}$

que diverge. Portanto o intervalo de convergência é [-1,3)