Question

Quais valores não nulos de m que satisfazem a ambas condições: senx=10m e cosx=m−1

Answer 1

Encontrar os valores de $m$, tais que

$\left\{ \begin{array}{l} \mathrm{sen\,}x=10m\\ \cos x=m-1 \end{array} \right.$

e $m \neq 0$.


Elevando as duas equações ao quadrado e somando membro a membro, temos:

$\left\{ \begin{array}{l} \mathrm{sen}^{2}x=\left(10m \right )^{2}\\ \cos^{2} x=\left(m-1 \right )^{2} \end{array} \right.\\ \\ \\ \underbrace{\mathrm{sen}^{2\,}x+\cos ^{2}x}_{1}=\left(10m \right )^{2}+\left(m-1 \right )^{2}\\ \\ 1=100m^{2}+m^{2}-2m+1\\ \\ 101m^{2}-2m+1-1=0\\ \\ 101m^{2}-2m=0\\ \\ m\cdot \left(101m-2 \right )=0\\ \\ m=0\text{ (n\~{a}o serve)}\;\;\text{ ou }\;\;101m-2=0\\ \\ \\ 101m-2=0\\ \\ 101m=2\\ \\ m=\dfrac{2}{101}$


Agora, vamos verificar se $m=\dfrac{2}{101}$ é um valor válido:

$\mathrm{sen\,}x=10\cdot \dfrac{2}{101}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{20}{101}\;\;\Rightarrow\;\;-1\leq \mathrm{sen\,}x\leq 1\\ \\ \\ \cos x=m-1\\ \\ \cos x=\dfrac{2}{101}-1\\ \\ \cos x=\dfrac{2-101}{101}\\ \\ \cos x=-\dfrac{99}{101}\;\;\Rightarrow\;\;-1\leq \cos x\leq 1$


O valor encontrado para $m$ satisfaz às condições de existência do seno e do cosseno. Então,

$m=\dfrac{2}{101}$