Question

quais valores de X satisfazem a equação
cos x - cos x/2 = 2?
a. -pi/2 < x < -pi/2
b. x= kpi, k e Z
c. x= (k+1)pi, K e Z
d. x= (4k+ 2)pi, K e Z

Answer 1

Vamos lá .

Sendo o cosseno da soma cos(a+b) = cosa.cosb - sena.senb :

cos(x/2 + x/2) = cos(x/2).cos(x/2) - sen(x/2).sen(x/2)

cos(x/2 + x/2)  = cos²(x/2) - sen²(x/2)

cosx = cos²(x/2) - sen²(x/2)

cosx = cos²(x/2) - (1 - cos²(x/2)

cosx = 2cos²(x/2) - 1

Agora que calculamos cosx em função de cos(x/2) , vamos substituir na equação dada no enunciado :

cosx - cos(x/2) = 2

2cos²(x/2) - 1 - cos(x/2) = 2

2cos²(x/2) - cos(x/2) - 3 = 0

Resolvendo a equação do 2°grau :

Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.2.(-3)
Δ = 1+24
Δ = 25

cos(x/2) = (1 + √25)/2.2 = 3/2 (cosseno maior que 1 , não existe)

ou 

cos(x/2) = (1 - √25)/2.2 = -1  

Sendo cos(x/2) = -1 :

cosx = 2cos²(x/2) - 1

cosx = 2.(-1)² - 1

cosx = 2.1 - 1

cosx = 1   , então x = 0 , 2π , 4π ... ou seja um múltiplo par de π . O que está representado na alternativa D da questão .