Question

Quais sao os valores que K pode assumir para que a equaçao x²+y²-2x+10y+13K=0 , represente uma circunferencia?

Answer 1

❑ Os valores de k que podem ser assumidos, para que seja uma equação da circunferência, são k < 2.

❑ Equação reduzida da circunferência

Dada por:

• (x - xc)² + (y - yc)² = r²

➯ Sendo xc e yc as coordenadas do centro da circunferência, r é o raio e x e y são coordenadas de um ponto genérico que pertença à circunferência.

❑ Como transformar uma equação completa na reduzida

$\boxed{x^{2} + y^{2} - 2 \cdot x \cdot xc - 2 \cdot y \cdot yc + xc^{2} + yc^{2} - r^{2} = 0 }$

➯ Logo, para chegar da completa a reduzida, dividiremos os termos multiplicados por x e por y por - 1. Cada resultado será Xc e Yc, respectivamente.

➯ Desse resultado, faremos que o termo independente é xc² + yc² - r², sendo xc e yc agora valores conhecidos.

❑ Problema

➯ Vamos tentar tornar essa equação reduzida.

• O termo que tem x é - 2x. Dividindo seu coeficiente por - 2:

$\dfrac{-2}{-2} = 1$

• O termo que tem y é 10y Dividindo seu coeficiente por - 2:

$\dfrac{10}{-2} = -5$

• Logo, xc = 1 e yc = - 5.  O centro C é (1, -5).

➯ Note que 13k é o termo independente, e representa  xc² + yc² - r². Logo:

xc² + yc² - r² = 13k

(1)² + (-5)² - r² = 13k

1 + 25 - r² = 13k

26 - r² = 13k

r² = 26 - 13k

• Como r está elevado ao quadrado, sabemos que r² > 0. Portanto, 26 - 13k > 0.

26 > 13k

13k < 26

k < 26/13

$\boxed{ k < 2}$

❑ Leia mais sobre circunferência em:

• https://brainly.com.br/tarefa/30505456

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Answer 2

Explicação passo-a-passo:

x² + y² - 2x + 10y + 13k = 0

Note que:

• (x - 1)² = x² - 2x + 1

• (y + 5)² = y² + 10y + 25

Somando 1 + 25 a ambos os membros da equação dada:

x² + y² - 2x + 10y + 13k + 1 + 25 = 1 + 25

x² - 2x + 1 + y² + 10y + 25 + 13k = 26

(x - 1)² + (y + 5)² + 13k = 26

(x - 1)² + (y + 5)² = 26 - 13k

A equação reduzida de uma circunferência de centro C(a, b) e raio r é:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Assim:

r² = 26 - 13k

Devemos ter:

26 - 13k > 0

-13k > -26 .(-1)

13k < 26

k < 26/13

k < 2

S = {k ∈ ℝ | k < 2}