Question

Quais são os valores de a para que o sistema linear

ax + y - z = 4
x + ay + z = 0
x - z = 2

seja possível e determinado?

Answer 1

Vamos resolver pelo método de escalonamento:

Pegamos apenas os coeficientes da equação:

a   1    - 1 |  4

1   a       1|  0

1   0      -1|  2

Para diminuir os cálculos, irei trocar a ultima linha pela segunda.



a   1    - 1 |  4

1   0      -1|  2

1   a       1|  0

E agora, irei trocar x por y


1   a    - 1 |  4

0   1     -1|  2

a   1      1|  0


Segundo o método de escalonamento, devemos zerar os números abaixo da diagonal principal.

Como o elemento a₂₁ já é zero.

Iremos zerar a₃₁
----------------------

L₃' = L₃ - kL₁

Onde k = a₃₁/a₁₁

K é a divisão do elemento que queremos zerar dividido pelo elemento da diagonal principal acima.

Nesse caso, k = a/1  = a

Então segui que:

L₃' = [ a   1     1|  0] - a[ 1   a   -1| 4]

L₃' = [a   1    1| 0] + [-a   -a²   a| -4a]

L₃' = [a-a   1-a²     1+a| 0-4a]

L₃' = [ 0    1-a²    1+a| -4a]
----------------------

Nossa matriz passa ser:



 1    a      -1 |  4

 0    1           -1|  2

 0    1-a²    1+a| -4a]

Zerando o elemento  a₃₂


L₃'' = L₃ - k₂L2

K₂ = a₃₂/a₂₂

k₂ = (1-a²)/1 = 1-a²

Então:

L₃'' = [0    1-a²   1+a| -4a] -(1-a²)[0    1     -1| 2]

L₃'' = [0     1-a²    1+a| -4a] +(a²-1)[ 0   1  -1| 2]

L₃'' = [0    1-a²   1+a| -4a] +[0   a²-1    1-a²| 2a²-2]

L₃'' = [0     0      (1+a+1-a²| -4a+2a²-2]

L₃'' = [0     0      -a²+a+2| 2a²-4a-2]

Então, 

teremos que:

 1    a          -1 |  4

 0    1            -1|  2

0     0      -a²+a+2| 2a²-4a-2]


Lembrando que a primeira coluna é valores de y. pois eu havia trocado as ordens

1y  + a  -z  = 4

x -z = 2

z(-a²+a+2) = 2a²-4a-2
---------------------------

Vamos isolar z na ultima equação

$z = \frac{2a^2-4a-2}{-a^2+a+2}$

Para que z exista, (-a²+a+2) ≠ 0

Pois não existe divisão por zero.

-a² +a + 2 ≠ 0  × (-1)

a² -a - 2 ≠ 0 

Δ = (-1)² -4(1×-2)

Δ = 1 +8

Δ = 9


$\\ a \neq \frac{-(1) \frac{+}{-} \sqrt{9} }{-2} \\ \\ a \neq \frac{-1 \frac{+}{-} 3}{-2}$

Então, esse sistema será possível para:

a ≠ 2

e

a ≠ -1