Question

quais são os três numeros de uma P.A tal que sua soma seja 12 e seu produto -24

Answer 1

Uma progressão aritmética é da forma:

$a_N = a_1 + (N - 1) \cdot R$

Onde $a_N$ é o enésimo termo da progressão;
$a_1$ é o primeiro termo da progressão;
N é o número do termo e
R é a razão.

Ou seja, uma progressão aritmética sempre será assim:

$(a_1, (a_1 + R), (a_1 + 2\cdot R), (a_1 + 3 \cdot R), ... a_1 + (N-1) \cdot R )$

O enunciado dá três informações importantes:

- A P.A. tem três números:

 $a_1, a_2, a_3 = a_1, a_1 + R, a_1 + 2 \cdot R$

- A soma destes números é 12:
 
$a_1 + a_2 + a_3 = 12 \\ a_1 + a_1 + R + a_1 + 2\cdot R = 12 \\ 3 \cdot a_1 + 3 \cdot R = 12 \\ 3 \cdot (a_1 + R) = 12 \\ a_1 + R = \frac{12}{3} \\ a_1 + R = 4$

Se perceber: $a_1 + R = a_2 = 4$, ou seja, encontramos o termo do meio.
E: $R = 4 - a_1$
- O produto dos três termos é -24:

$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = -24 \\ a_1 \cdot (a_1 + R) \cdot (a_1 + 2\cdot R) = -24 \\ a_1 \cdot 4 \cdot (a_1 + 2 \cdot (4 - a_1)) = -24 \\ 4 \cdot a_1 \cdot (a_1 + 8 - 2 \cdot a_1) =-24 \\ 4 \cdot a_1 \cdot (-a_1 + 8)  = -24 \\ - 4 \cdot (a_1)^2 + 4 \cdot a_1 \cdot 8 = -24 \\ -4 \cdot (a_1)^2 + 32 \cdot a_1 + 24 = 0$

Podemos dividir todos os termos dessa equação por -4:

$(a_1)^2 - 8 \cdot a_1 - 6 = 0$

Então chegamos a uma equação do segundo grau, utilizando a fórmula de Bhaskara com a=1, b= -8 e c = -6:

$a_1 = \frac{8 \pm \sqrt[2]{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt[2]{64 + 24}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt[2]{88}}{2}$

Podemos fatorar a raiz quadrada de 88:

88|2
44|2
22|2
11|11
1

Ou seja: $\sqrt[2]{88} = 2 \cdot \sqrt[2]{22}$

Logo:

$a_1 =\frac{8 \pm 2 \cdot \sqrt[2]{22}}{2} =4 \pm \sqrt[2]{22}$

Então temos duas possibilidades para o valor de $a_1$:

$a_1 = 4 + \sqrt[2]{22} \quad e \quad a_1 = 4 - \sqrt{22}$

Podemos então calcular a razão da P.A.:

$a_1 + R = 4 \\ 4 \pm \sqrt[2]{22} + R = 4 \\ R = \mp \sqrt[2]{22}$

Ou seja, podemos escrever a P.A. de duas formas. Caso $a_1 = 4 + \sqrt[2]{22}$, então: $R = - \sqrt[2]{22}$

$(4 + \sqrt[2]{22}, 4, 4 - \sqrt[2]{22})$

ou, caso $a_1 = 4 - \sqrt[2]{22}$, então $R = \sqrt[2]{22}$

$(4 - \sqrt[2]{22}, 4, 4 + \sqrt[2]{22})$