Question

Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?
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Answer 1

Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.

Para verificarmos se os pontos estão alinhados (são colineares) temos duas formas práticas:

→ Se conhecemos as coordenadas dos pontos podemos construir o gráfico.

→ Se não conhecemos completamente as coordenadas dos pontos podemos encontrá-las calculando o determinante pela regra de Sarrus aravés da matriz das coordenadas dos pontos.

Se o determinante for diferente de zero os pontos formam um triângulo.

Se o determinante for igual a zero os pontos estão alinhados.

Portanto, tomamos as coordenadas incompletas dos pontos e montamos o determinante. Depois o igualamos a zero para encontrar o valor desconhecido de c, já sabendo que ao igualarmos o determinante a zero esse valor de c tornará os pontos colineares.

$D=\left[\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}c&3&1\\2&c&1\\14&-3&1\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{ccc}c&3&1\\2&c&1\\14&-3&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}c&3\\2&c\\14&-3\end{array}\right]$

$=(c*c*1)+(3*1*14)+(1*2*(-3))-(14*c*1)-((-3)*1*c)-(1*2*3)\\=c^2+42+(-6)-14c-(-3c)-6\\=c^2+42-6-14c+3c-6\\=c^2-11c+30$

Igualando a zero:

$c^2-11c+30=0$

Encontramos as raízes pelo teorema de Baskara ou por fatoração.

$(c-5)(c-6) = 0$

Portanto,

$c-5=0 \Leftrightarrow c=5$

$c-6=0 \Leftrightarrow c=6$

Os valores que tornam os pontos colineares são c = 5 e c = 6.

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Testando:

(c , 3), (2 , c) e (14, -3)

Para c = 5 temos: (5 , 3), (2 , 5) e (14, -3)

Para c = 6 temos: (6 , 3), (2 , 6) e (14, -3)

Observe os gráficos anexos. Perceba que nos dois casos os pontos são colineares ou alinhados, ou seja, estão sobre uma mesma reta.

Bons estudos. Quando não souber algo, pesquise na internet. Há vários sites legais de matemática e vários vídeos no Youtube que explicam muito bem qualquer assunto. Basta digitar o nome do assunto no Google e você terá tudo o que precisa para entender qualquer conteúdo.

Pratique pesquisar! É uma habilidade fantástica, e muito necessária na vida.