Question

Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c,3), (2,c) e (14,-3) sejam colineares?

Answer 1

3 pontos A, B e C são colineares só e somente se:

$\left|\begin{array}{ccc}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{array}\right|=0$
_______________________________

Substituindo as coordenadas dos pontos no determinante, temos:

$\left|\begin{array}{ccc}c&3&1\\2&c&1\\14&-3&1\end{array}\right|=0$

Resolvendo o determinante:

$c\cdot c\cdot1+2\cdot(-3)\cdot1+3\cdot1\cdot14-1\cdot c\cdot14-3\cdot2\cdot1-1\cdot(-3)\cdot c=0\\c^{2}-6+42-14c-6+3c=0\\c^{2}-11c+30=0$

Resolvendo por soma e produto:

$S=-b/a=-(-11)/1=11\\P=c/a=30/1=30$

Raízes: 2 números que quando somados dão 11 e quando multiplicados dão 30

$c'=5\\c''=6$