Question

quais são os possíveis valores de c para que os pontos(4,c),(c,3)e(10,-3)sejam colineares?

Answer 1

E aí mano,

para que haja alinhamento ou que sejam colineares, o determinante da matriz de formação de pontos devem ser nulas:

$\left|\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right|=0$

Substituindo as coordenadas dos pontos acima, na matriz de formação, e aplicando a regra de Sarruz, temos que:

$\left|\begin{array}{ccc}4&c&1\\c&3&1\\10&-3&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}4&c\\c&3\\10&-3\end{array}\right=0\\\\\\ 12+10c-3c-30+12-c^2=0\\ -c^2+7c-6=0~~~~*~~~~(-1)\\ c^2-7c+6=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-7)^2-4*1*6\\ \Delta=49-24\\ \Delta=25$

$c= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\\ c= \dfrac{-(-7)\pm \sqrt{25} }{2*1}= \dfrac{7\pm5}{2}\begin{cases}c'= \dfrac{7-5}{2}\to~c'= \dfrac{2}{2}\to~c'=1\\\\ c''= \dfrac{7+5}{2}\to~c''= \dfrac{12}{2}\to~c''=6 \end{cases}\\\\\\ Portanto,~os~valores~de~c~para~que~os~pontos~acima~sejam~colineares\\ s\~ao,~1~e~6$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))