Question

Quais são os menores valores de x y e z para que a fração 13/ 2^x5^y7^z seja uma dizima periódica simples ? X, y e z são expoentes.

Answer 1

Vamos lá!

Uma dizima periódica simples tem seu divisor formado por números 9. Exemplos:
0,88888...= 8/9

0,25252525...=25/99

Então. 13/2^x.5^y.7^z = n/99...(n é um número qualquer)

Note que o divisor é formado somente por números 9. Então ele não pode ser múltiplo de 2, pois ele é impar, e, também, não pode ser múltiplo de 5 pois ele não termina em 0 e 5.
Por isso x e y precisam ser 0 para sumirem com o 2 e o 5 dali.
Logo: x=0 e y=0

A conta fica assim, então:
13/7^z= n/99...
Agora chegamos a um problema. Para 7^z, não existe um z que faça ele virar um número formado somente por 9

Mas temos como corrigir tal problema.

A conta: 999.999÷7 da um valor inteiro
999.999÷7=142.857

Assim nós podemos multiplicar em cima e em baixo por 142.857

13x142.857/7^zx142857

Ai ficaremos com o divisor tendo que ser 999.999.

7^z x 142857= 999.999

7^z= 999.999/142857

7^z=7

Z=1

Respostas: x=0, y=0, z=1

Espero ter ajudado :D