Question

Quais são os máximos e mínimos locais da função f(x)=16x^4 - 16x^3?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 16x {}^{4} - 16x {}^{3}$

Para encontrar os máximos e mínimos locais dessa função vamos usar o teste da derivada segunda. Iniciando pela derivação:

$f'(x) = 64x {}^{3} - 48x {}^{2} \\ f''(x ) = 192x {}^{2} - 96x$

Agora vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, o pontos que anulam a derivada primeira:

$64x {}^{3} - 48x {}^{2} = 0 \longrightarrow \begin{cases}x_1 = 0\\ x_2 = \frac{3}{4} \end{cases}$

Próximo passo é pegar esses pontos críticos e substituir na derivada segunda e analisar o valor:

$f''(0) = 192.(0) {}^{2} - 96.0 \\ f''(0) = 0 \\ \\ f''( \frac{3}{4} ) = 192.( \frac{3}{4} ) + 96.( \frac{3}{4}) \\ f''( \frac{3}{4} ) = 72$

Não pode-se retirar conclusões sobre o ponto que possui o valor igual a "0", então vamos analisar apenas o ponto que possui o valor 72.

Pelas regras, sabemos que:

$f''(x) > 0 \to minimo \\ f''(x) < 0 \to maximo$

Portanto temos:

$x = \frac{3}{4} \to minimo \: local$

Espero ter ajudado