Question

Quais sao os focos da elipse 4x²+y²=36?

Answer 1

Temos a seguinte equação geral elíptica:

$\sf4 x {}^{2} + y {}^{2} = 36$

Normalmente uma elipse possui a sua equação na fórmula reduzida, dada por:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \: \: \: ou \: \: \: \frac{x {}^{2} }{b{}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } = 1$

A primeira equação simboliza a elipse quando o seu eixo maior está sobre o eixo "x", já a segunda é o contrário, pois simboliza a elipse que tem o eixo maior sobre o eixo "y". Para deixar a equação que possuímos nesse formato, vamos passar o número 36 dividindo toda a equação, inclusive ele mesmo:

$\sf \frac{4x {}^{2} }{36} + \frac{ {y}^{2} }{36} = \frac{36}{36} \longleftrightarrow \sf \frac{x {}^{2} }{9} + \frac{y {}^{2} }{36} = 1 \: \: \:$

Se você observar, o maior valor está abaixo do y², isso indica que a elipse é caracterizada pelo seu eixo maior sobre o eixo "y", ou seja, trata-se da segunda possibilidade de equação. Comparando os valor de acordo com a equação recíproca:

$\sf \begin{cases} \sf b {}^{2} = 9 \\ \sf b = \sqrt{9} \\ \sf b = 3\end{cases} \: \: \begin{cases} \sf a {}^{2} = 36 \\ \sf a = \sqrt{36} \\ \sf a = 6 \end{cases}$

Temos os valores de "a" e "b", para encontrar o valor do foco (c), podemos aplicar a o Teorema de Pitágoras, onde a é a hipotenusa e as outras letras representam os catetos:

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 6 {}^{2} = 3 {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 36 = 9 + c {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 27 \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf c = \sqrt{27} \: \: \: \: \: \\ \sf c = 3 \sqrt{3} \: \: \: \: \:$

Portanto podemos dizer que as coordenadas do foco são:

$\sf F(0, - 3 \sqrt{3} ) \\ \sf F(0 ,3 \sqrt{3} ) \: \: \: \:$

Espero ter ajudado