Question

Quais são as relações dadas em pitagonicas citadas em bach, ou teorema de pitagoras, uma espiral pitagorica e uma borboleta ?

Answer 1

A Espiral Pitagórica é construída com triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.
Veremos neste post sua construção, assim como o desenvolvimento das fórmulas que geram os lados dos triângulos.

A Espiral Pitagórica é construída utilizando triângulos retângulos, onde a hipotenusa do primeiro triângulo retângulo é o menor cateto do segundo; e a hipotenusa do segundo triângulo retângulo é o menor cateto do terceiro; e assim por diante. Faz-se necessário encontrarmos um algoritmo que nos dê as medidas desses triângulos para que possamos sem dificuldades, construir a espiral.
Dentre as formas analisadas para a construção, podemos encontrar 44 possibilidades que nos levam a quatro teoremas que nos dão as fórmulas para calcularmos os lados dos triângulos retângulos que compõem a Espiral Pitagórica.
Teorema 1: Se a<b<ca<b<c forem inteiros, então a equação a2+b2=c2a2+b2=c2 tem apenas uma solução se aa for um primo ímpar;

Demonstração:

A equação a2+b2=c2a2+b2=c2 pode ser escrita como:c+b=a2c−b(1)(1)c+b=a2c−b
Uma vez que bb e cc são inteiros, logo c−bc−b tem que dividir a2a2 sem deixar resto. Logo, c−bc−b são os divisores positivos de a2a2. Se a2a2 é o quadrado de um primo ímpar, os divisores de a2a2 são: a2a2, aa e 11. Substituindo estes divisores na relação (1)(1), obtemos os seguintes sistemas lineares:S1:{cc−+bb==a21S2:{cc−+bb==aaS3:{cc−+bb==1a2(2)(2)S1:{c−b=a2c+b=1S2:{c−b=ac+b=aS3:{c−b=1c+b=a2
Dos três sistemas de equação acima, apenas a solução S3S3 é compatível. Resolvendo o sistema, obtemos:c=a2+12,b=c−1(3)(3)c=a2+12,b=c−1

Answer 2

 espiral pitagorica e uma borboleta