Question

quais são as raízes dessa equação biquadrada?

Answer 1

Resposta:

$\sf \displaystyle y^4 -3y^2 + 2 = 0$

$\sf \displaystyle (y^2)^2 -3y^2 + 2 = 0$  →  pode ser escrita assim.

Substituindo  y² por x, temos:

$\sf \displaystyle x^{2} - 3x + 2 = 0$

$\sf \displaystyle \Delta = b^2 -\:4ac$

$\sf \displaystyle \Delta = (-3)^2 -\:4 \cdot 1 \cdot 2$

$\sf \displaystyle \Delta = 9 - 8$

$\sf \displaystyle \Delta = 1$

$\sf \displaystyle x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,(-3) \pm \sqrt{ 1 } }{2 \cdot 1} = \dfrac{3 \pm1 }{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{ 3 + 1}{2} = \dfrac{4}{2} = \;2\\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{3 - 1}{2} = \dfrac{2 }{2} = 1\end{cases}$

Voltar a condição de y²  por x:

Para x' = 2 temos:

$\sf \displaystyle y^{2} = x_1$

$\sf \displaystyle y^{2} = 2$

$\sf \displaystyle y = \pm\: \sqrt{2}$

$\sf \displaystyle y_1 = \sqrt{2}$

$\sf \displaystyle y_2 = -\: \sqrt{2}$

Para x'' = 1 temos:

$\sf \displaystyle y^{2} = x_2$

$\sf \displaystyle y^{2} = 1$

$\sf \displaystyle y = \pm\: \sqrt{1}$

$\sf \displaystyle y_3 = 1$

$\sf \displaystyle y_4 = -\: 1$

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-√2, -1, 1, √2}.