quais são as propriedades da potenciação?
Soluções para a tarefa
Potência com expoente negativo
Seja a um número real diferente de zero, e n um número natural, chamamos de potência de base a e expoente -n o número a-n, que é o número inverso de an.
definição de potenciação com expoente negativo
Exemplo:
Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos uma sequência do número 3 multiplicado 4 vezes. Assim, podemos simplificar da seguinte forma:
potenciação exemplo
Leia-se: três elevado a quatro é igual a oitenta e um
onde, 3 é o número multiplicado e 4 a quantidade de vezes que ele foi multiplicado.
Agora com expoente negativo.
potenciação com expoente negativo
Outros tipos de potência
Expoente inteiro maior que 1.
Neste caso é o produto de vários fatores iguais à base de acordo com quantas forem as unidades do expoente.
Exemplo:
4³ = 4 x 4 x 4 = 64
5² = 5 x 5 = 25
Expoente igual a 1.
Neste caso, todas as potências com expoente 1 é igual a base. Logo:
a¹ = a
Exemplo:
2¹ = 2;
25¹ = 25
Expoente igual a zero.
Neste caso, todas as potências com expoente igual a zero é igual a 1. Logo:
a0 = 1
Exemplo:
30 = 1
80 = 1
Casos particulares de potenciação:
Sendo n um número inteiro, podemos ter:
a = 0 e n > 0 ⇒ an = 0
a = 0 e n < 0 ⇒ não existe an ∈ R
a > 0 ⇒ an > 0
a < 0 e n par ⇒ an > 0
a < 0 e n ímpar ⇒ an < 0
Propriedades da potenciação
Considerando as bases a e b números reais, e os números naturais para m e n. Temos as seguintes propriedades:
Qualquer número real elevado ao expoente natural 1 é igual ao próprio número.
Propriedades da potenciação
Exemplo: 5¹ = 5
Qualquer número real não-nulo elevado ao expoente natural 0 é igual a 1.
Exemplo: 30 = 1
Qualquer potência que possui na base o número 1 é igual a 1.
Exemplo: 1100 = 1
Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 1 seguido da quantidade de zeros, de acordo com o valor do expoente.
Exemplo: 105 = 100000
Veja que a quantidade de zeros foi definida pelo expoente 5.
Um potência com expoente negativo indica que temos uma inversão entre o numerador com o denominador.
Propriedades da potenciação
Veja que a potência foi para o denominador sem o sinal, e o numerador é representado pelo número 1 (oculto) do denominador.
Uma potência negativa no denominador é equivalente ao numerador vezes o denominador com o sinal da potência trocado.
Exemplo:
Propriedades da potenciação
e
Propriedades da potenciação
No primeiro caso o 1 (um) pode ser omitido porque não altera o valor do produto, 1 x 5² = 5² = 25.
Propriedades operatórias da potenciação
É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo potenciação.
Produto de potências de mesma base
Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes.
am.an = am + n
Exemplo: 52.53 = 52 + 3
Divisão de potências de mesma base
Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes.
divisão de potencia
Exemplo:
divisão de potencia
Base negativa e expoente ímpar
Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo, veja o jogo de sinais em subtração.
Exemplo: (-2)3 = -8
Base negativa e expoente par
Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo, veja o jogo de sinais em subtração.
Exemplo: (-5)2 = 25
Potência de potência
Neste caso, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
Potência de potência
Exemplo:
Potência de potência
Potência de um produto
Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto.
(a . b)n = (an . bn)
Exemplo: (2 . 3)2 = (22 . 32) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36
Divisão de potências de mesmo expoente
Numa divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador quanto o denominador ao expoente.
Divisão de potências de mesmo expoente
Exemplo:
Divisão de potências de mesmo expoente
Multiplicação de potências com o mesmo expoente
Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos conservar o expoente e multiplicar as bases.
(an . bn) = (a . b)n
Exemplo: (32 . 22) = (3 . 2)2
Observação:
As propriedades que foram apresentadas acima também servem para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos:
23 . 2-2 = 23 + (-2) = 2¹
5-3 . 2-3 = (5 . 2)-3 = 10-3
Divisão de potências de mesmo expoente
Divisão de potências de mesmo expoente
Divisão de potências de mesmo expoente
Casos especiais de potências
(-a)n e -an
Essas potências (-a)n e -an geralmente apresentam resultados diferentes, pois:
(-a)n = (-a) . (-a) . (-a) . … . (-a) (n vezes)
-an = – (a . a . a . … . a) (n vezes)
Exemplos:
(-2)² = (-2) . (-2) = 4
-2² = – (2 . 2) = – 4
(-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
-2³ = – (2 . 2 . 2) = -8
O uso dos parênteses indica que o sinal pertence ao número e deve ser multiplicado junto.
(am)n e amn
Essas potências (am)n e amn geralmente apresentam resultados diferentes, pois:
(am)n = (am) . (am) . … . (am) (n vezes) e am . m . … . m (n vezes)
Exemplos:
(5²)³ = (5²) . (5²) . (5²) = 52.3 = 56
523 = 52 . 2 . 2 = 58
Resposta:
As propriedades da potenciação são recursos utilizados pela matemática para deixar mais simples algumas operações entre potências.
Propriedade 1. Multiplicação de potências com bases iguais.
Propriedade 2. Divisão de potências com bases iguais.
Propriedade 3. Potência com uma base negativa.