Question

Quais são as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?

Justifique as principais etapas de sua resolução.

Answer 1

Vamos encontrar as condições necessárias e suficientes para que em uma progressão aritmética, a soma de dois termos é um termo da própria P.A.:

     Para quaisquer p, q naturais, existe um n natural tal que

     $\mathsf{a_p+a_q=a_n}$


Aplicando a fórmula do termo geral, temos que

     $\mathsf{a_p=a_1+(p-1)\cdot r}$

     $\mathsf{a_q=a_1+(q-1)\cdot r}$


Somando, temos que

     $\mathsf{a_p+a_q=a_n}\\\\ \mathsf{a_1+(p-1)r+a_1+(q-1)r=a_n}\\\\ \mathsf{a_1+(p-1+q-1)r+a_1=a_n}\\\\ \mathsf{a_1+(p+q-2)r+a_1=a_n}\\\\ \mathsf{a_1+(p+q-2)r+a_1=a_1+(n-1)r}\\\\ \mathsf{(p+q-2)r+a_1=(n-1)r}\\\\ \mathsf{a_1=(n-1)r-(p+q-2)r}\\\\ \mathsf{a_1=(n-1-(p+q-2))r}$

     $\mathsf{a_1=(n-p-q+1)r}$


Logo, a condição é que o primeiro termo seja múltiplo inteiro da razão r da P.A.


Bons estudos! :-)