Question

Quais são as duas raízes da equação 9 . 5 ^ x² - 2x+ 1 = 5625

1 e 3
-1 e 3
1 e -3
-1 e -3

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos que:

$\boxed{9.5 {}^{(x {}^{2} - 2x + 1)} = 5625}$

Vamos passar o 9 dividindo o número 5625.

$5 {}^{(x {}^{2} - 2x + 1) } = \frac{5625}{9} \\ \\ 5 {}^{( {x}^{2} -2x + 1) } = 625$

Vamos fatorar o número 625:

$\begin{array}{r|c}625&5 \\ 125&5 \\ 25&5 \\ 5&5 \\ 1 \end{array} \rightarrow \boxed{ 5 {}^{4} }$

Substituindo no local de 625:

$\cancel5 {}^{x {}^{2} - 2x + 1} = \cancel{5} {}^{4}$

Cancela as bases "5" e resolve a equação formada no expoente.

$x {}^{2} - 2x + 1 = 4 \\ x {}^{2} - 2x + 1 - 4 = 0 \\ \boxed{x {}^{2} - 2x - 3 = 0}$

Vamos resolver essa equação através de soma e produto.

I) Coeficientes:

$\begin{cases}a = 1 \\ b = - 2 \\ c = - 3\end{cases}$

Substituindo na fórmula da soma e produto:

$\boxed{S = \frac{ - b}{a} } \\ \\S = \frac{ - ( -2) }{1} \\ S = \frac{2}{1} \\ \boxed{ S = 2} \\ \\ \boxed{ P = \frac{c}{a} } \\ \\ P = \frac{ - 3}{1} \\ \boxed{P = - 3}$

Agora devemos pensar em dois números que somados resultem em 2 e multiplicados resultem em -3, esses números são: 3 e -1, pois:

3 - 1 = 2

3.(-1) = -3

Portanto as raízes da nossa equação são:

$\large\boxed{ \boxed{S = \{ - 1,3 \}}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️