Question

Quais são as coordenadas do ponto P' simétrico a P(1, -7, 2) com relação ao ponto H(9, 1, -8)?

Informe as 3 coordenadas:
P'=

Answer 1

Pergunta interessante. Façamos primeiro um vetor que dá a direção da reta r que possui P e H:

$\vec{v}=\vec{OH}-\vec{OP} = 8\vec{i}+8\vec{j}-10\vec{k}\\ \\ \vec{v}_1 = 4\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k}$

Adotaremos o vetor $\vec{v}_1$ por ser mais simples, pois é um múltiplo de um vetor que dará a direção da reta, e por isso ele também dará a direção da mesma reta.

Fazemos a equação paramétrica da reta r usando o ponto P e o nosso vetor:

$r: \begin{cases}{x=1+4t\\y=-7+4t\\z=2-5t}\end{cases}$

Calculamos a distância do ponto P a H:

$d(P,H)=||\vec{PH}|| = \sqrt{8^2+8^2+(-10)^2}= \sqrt{228}=2\sqrt{57}$

Note que não usamos o vetor $\vec{v}_1$ , e sim o vetor $\vec{v}$ , pois nesse caso queremos o verdadeiro comprimento de PH.

Note que a distância de P' a H deve ser a mesma de P a H, e P' estará sobre a reta r, e por isso possui coordenadas $P'(1+4t, -7+4t, 2 - 5t)$

Calculamos o vetor P'H, tiramos sua norma e igualamos à norma de PH:

$\vec{P'H}=(8-4t, 8-4t,-10+5t)\\ \\ ||\vec{P'H}||=\sqrt{64-64t+16t^2 + 64 - 64t + 16t^2 + 100 - 100t + 25t^2}\\ \\ 2\sqrt{57}= \sqrt{57t^2-228t+228}\\ \\ 57t^2-228t=0\\ \\ t(57t - 228)=0\\ \\ t = 0 \ \ ou \ \ t = 4$

Note que para $t = 0$ teremos nosso próprio ponto P, o que faz sentido, pois tem a distância calculada dele até H. O outro ponto é P' e possui coordenadas $P'(1+4\cdot4\ , \ -7+4\cdot4\ ,\ 2 -5\cdot4)\\ \\ \boxed{P'(17, 9, -18)}$