Quais são as coordenadas do centro da circunferência de equação: 4x^2+4y^2+4x-4y+1=0
a) (-1,1)
b) ( -1/2, 1/2)
c) (1,2)
d) (-2/3, 3/4)
e) (1/2, 1/2)
Soluções para a tarefa
(x-(-1/2))² + (y-(1/2))² = 3/2. A partir desta equação é facil ver que o centro da circunferência fica em C=(-1/2,1/2).
Letra b).
Explicação passo-a-passo:
Esta é a equação de uma circunferência da forma extensa, para encontrarmos ela da forma analitica, devemos primeiramente completar os quadrados, para isso, iremos agrupados em relação as coordenadas:
(4x² + 4x) + (4y²-4y) + 1 = 0
Agora temos juntos todos os termos de x, e todos os termos de y, agora basta completarmos os quadrados tanto para x quanto para y.
Para completar quadrado, basta que escrevamos a equação na forma (ax+b)², que é o chamado quadrado perfeito.
No caso de x é evidente que o quadrado perfeito seria (2x+1)², porém se abrirmos esta equação ficaria:
(2x+1)² = 4x² + 4x + 2
O ultimo termo não está presente na equação, então para isso iremos adicionar e subtrair este número da nossa equação:
(4x² + 4x + 2 - 2) + (4y²-4y) + 1 = 0
(4x² + 4x + 2) - 2 + (4y²-4y) + 1 = 0
Agora nossos termos em x, de fato formam um quadrado perfeito, então podemos substitui-los:
(2x+1)² - 2 + (4y²-4y) + 1 = 0
Faremos o mesmo com os termos em y, onde o quadrado perfeito é evidentemente (2y-1)², e quando expandidos:
(2y-1)² = 4y² - 4y + 2
Da mesma forma ele não possui o ultimo termo, então iremos adiciona-lo a nossa equação:
(2x+1)² - 2 + (4y²- 4y) + 1 = 0
(2x+1)² - 2 + (4y²- 4y + 2 - 2) + 1 = 0
(2x+1)² - 2 + (4y²- 4y + 2) - 2 + 1 = 0
Agora os termos de y formam um quadrado perfeito e podemos substituir:
(2x+1)² - 2 + (2y-1)² - 2 + 1 = 0
(2x+1)² + (2y-1)² = 3
Agora colocando o número 2, em evidência dentro dos parenteses:
2(x+1/2)² + 2(y-1/2)² = 3
(x+1/2)² + (y-1/2)² = 3/2
E colocando o sinal negativo em evidencia dentros dos parentese também:
(x-(-1/2))² + (y-(1/2))² = 3/2
A partir desta equação é facil ver que o centro da circunferência fica em C=(-1/2,1/2).